Ma trận Jacobian là gì? Hiểu rõ bản chất bằng cách viết dễ hiểu

Ma trận Jacobian là một trong những khái niệm trung tâm trong robot học, động học và điều khiển chuyển động. Dưới đây là phần trình bày chi tiết – trực quan – và gắn với ứng dụng thực tế trong robot bốn chân và các robot nối khớp nói chung.

1. Ma trận Jacobian là gì?

Định nghĩa:

Trong robot học, ma trận Jacobian $\mathbf{J}(\boldsymbol{\theta})$ là một ánh xạ tuyến tính giữa:

Tốc độ góc/tịnh tiến của các khớp $\dot{\boldsymbol{\theta}}$
và
Vận tốc của end-effector (bàn chân) $\dot{\mathbf{x}}$

Biểu thức:

$\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{J}(\boldsymbol{\theta}) \cdot \dot{\boldsymbol{\theta}}$

$\dot{\mathbf{x}} \in \mathbb{R}^6$ : gồm vận tốc tuyến tính (3D) + vận tốc góc (3D)
$\dot{\boldsymbol{\theta}} \in \mathbb{R}^n$ : tốc độ các khớp (n là số khớp)
$\mathbf{J}(\boldsymbol{\theta}) \in \mathbb{R}^{6 \times n}$ : ma trận Jacobian

2. Cách xây dựng Jacobian

a. Với chuỗi khớp nối (serial chain):

Mỗi khớp $i$ có trục vít $\xi_i \in \mathbb{R}^6$ . Khi đó: $\mathbf{J}(\boldsymbol{\theta}) = \begin{bmatrix} \text{Ad}_{e^{[\xi_1] \theta_1}} \xi_1 & \text{Ad}_{e^{[\xi_1] \theta_1} e^{[\xi_2] \theta_2}} \xi_2 & \cdots & \text{Ad}_{e^{[\xi_1] \theta_1} \cdots e^{[\xi_{n-1}] \theta_{n-1}}} \xi_n \end{bmatrix}$

hoặc đơn giản hơn (nếu trong frame cố định): $\mathbf{J}_i = [\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n] \quad$ (các twist biểu diễn trong cùng 1 frame)

3. Tính chất của ma trận Jacobian

Tính chất	Ý nghĩa
Phụ thuộc vào $\boldsymbol{\theta}$	Mỗi cấu hình khớp có Jacobian khác
Tuyến tính tại thời điểm tức thời	Liên hệ tuyến tính giữa $\dot{\boldsymbol{\theta}}$ và $\dot{\mathbf{x}}$
Có thể suy biến (rank < 6)	Tại các điểm kỳ dị (singularity)
Có thể tính nghịch đảo hoặc giả nghịch đảo	Phục vụ điều khiển động học ngược
Phân tách 2 phần	3 dòng đầu: vận tốc tuyến tính; 3 dòng sau: vận tốc góc

🚀 4. Ứng dụng của Jacobian trong robot học

1. Tính vận tốc bàn chân từ tốc độ khớp

$\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{J} \cdot \dot{\boldsymbol{\theta}}$

Ứng dụng để:

Theo dõi quỹ đạo bàn chân
Điều khiển vận tốc trong không gian tác dụng

2. Động học ngược vận tốc (Inverse velocity kinematics)

$\dot{\boldsymbol{\theta}} = \mathbf{J}^+ \cdot \dot{\mathbf{x}}_{\text{desired}}$

Với $\mathbf{J}^+$ : giả nghịch đảo Moore-Penrose.

3. Biến đổi lực/mô-men

$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{J}^T \cdot \mathbf{F}_{\text{end-effector}}$

Ứng dụng:

Biến lực tiếp xúc ở bàn chân thành mô men khớp cần thiết
Phân phối tải trọng giữa các chân trong robot bốn chân
Tính phản lực tiếp xúc khi robot đi bộ (force control)

4. Tính trạng thái kỳ dị (singularity)

Khi $\det(\mathbf{J} \mathbf{J}^T) \to 0$ , hệ không thể chuyển động theo một số hướng → cần tránh trong điều khiển.

Tin tức