Các bài toán hệ thống điều khiển

Phân Tích Hệ Thống Máy In Laser Sử Dụng Biến Đổi Laplace

09
Th2

Máy in laser sử dụng tia laser để in nhanh từ máy tính. Vị trí của tia laser được điều khiển bởi một đầu vào $r(t)$ , đại diện cho vị trí mong muốn của tia laser. Mô hình toán học của hệ thống được mô tả bởi phương trình truyền đạt trong miền Laplace:

$Y(s) = \frac{6(s+50)}{s^2 + 40s + 300} R(s)$

Trong bài toán này, chúng ta cần xác định:

Đầu ra $y(t)$ khi $r(t) = 1$ .
Giá trị giới hạn của $y(t)$ khi $t \to \infty$ .

Bước 1: Biến đổi phương trình sang dạng phân số riêng

Với đầu vào $r(t) = 1$ , ta có: $R(s) = \frac{1}{s}$

phân tích hệ thống máy in laser sử dụng biến Đổi laplace hệ thống điều khiển

Thay vào phương trình truyền đạt:

$Y(s) = \frac{6(s+50)}{s(s+10)(s+30)}$

Tiến hành phân tích thành phân số riêng:

$\frac{6(s+50)}{s(s+10)(s+30)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+10} + \frac{C}{s+30}$

Nhân hai vế với mẫu số chung $s(s+10)(s+30)$ để loại bỏ mẫu: $6(s+50) = A(s+10)(s+30) + B(s)(s+30) + C(s)(s+10)$

Giải hệ phương trình để tìm A, B, C, ta thu được: $A = 1$ , $\quad B = -1.2$ , $\quad C = 0.2$

Do đó: $Y(s) = \frac{1}{s} - \frac{1.2}{s+10} + \frac{0.2}{s+30}$

Bước 2: Biến đổi Laplace ngược để tìm $y(t)$

Dựa vào bảng biến đổi Laplace ngược:

$\mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s} \right) = 1$

$\mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1.2}{s+10} \right) = 1.2 e^{-10t}$

$\mathcal{L}^{-1} \left( \frac{0.2}{s+30} \right) = 0.2 e^{-30t}$

Kết hợp lại, ta được: $y(t) = 1 - 1.2 e^{-10t} + 0.2 e^{-30t}$

Bước 3: Xác định giá trị giới hạn của $y(t)$ khi $t \to \infty$

Sử dụng Định lý giá trị cuối: $\lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{s \to 0} s Y(s)$

$\lim_{s \to 0} s \cdot \frac{6(s+50)}{(s+10)(s+30)}$

Thay $s = 0$ : $\frac{6(50)}{(10)(30)} = \frac{300}{300} = 1$

Do đó: $\lim_{t \to \infty} y(t) = 1$

Kết luận

Đáp ứng theo thời gian của hệ thống là: $y(t) = 1 - 1.2 e^{-10t} + 0.2 e^{-30t}$ Hàm này cho thấy phản hồi của hệ thống dần ổn định về giá trị 1 theo thời gian.
Giá trị cuối cùng của hệ thống khi $t \to \infty$ là 1, nghĩa là vị trí của tia laser sẽ đạt được đúng vị trí mong muốn $r(t) = 1$ .

phân tích hệ thống máy in laser sử dụng biến Đổi laplace nguyễn đức mùi

Bài toán này cho thấy cách sử dụng biến đổi Laplace để phân tích hệ thống điều khiển và xác định phản hồi của hệ thống theo thời gian. 🚀

Menu Điều Khiển>>

Để lại một bình luận Hủy

error: Content is protected !!

Hotline: 039.2266.928

Khóa học Toefl