Phương trình vi phân với phép biến đổi Laplace

Trong bài toán này, chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình vi phân bậc ba với điều kiện ban đầu bằng 0 và một hàm kích thích $f(t) = 2e^{-t}$ . Phương trình vi phân được cho như sau:

$\frac{d^3 y(t)}{dt^3} + 4 \frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 5 \frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = f(t)$

Với $f(t) = 2e^{-t}$ , bài toán yêu cầu chúng ta xác định nghiệm y(t)y(t) của phương trình bằng phương pháp biến đổi Laplace.

Bước 1: Biến Đổi Phương Trình Sang Miền Laplace

Áp dụng biến đổi Laplace cho phương trình vi phân trên. Vì giả thiết tất cả điều kiện ban đầu đều bằng 0, ta có:

$s^3 Y(s) + 4s^2 Y(s) + 5s Y(s) + 2Y(s) = \mathcal{L}\{ 2e^{-t} \}$

Biến đổi Laplace của $\mathcal{L}\{ 2e^{-t} \} = \frac{2}{s+1}$

Do đó, phương trình trở thành:

$Y(s) (s^3 + 4s^2 + 5s + 2) = \frac{2}{s+1}$

Bước 2: Phân Tích Đa Thức Mẫu Số

Chúng ta phân tích mẫu số thành tích các nhân tử:

$s^3 + 4s^2 + 5s + 2 = (s+1)(s+1)(s+2) = (s+1)^2 (s+2)$

Do đó, phương trình có thể viết lại dưới dạng: $Y(s) = \frac{2}{(s+1)^3 (s+2)}$

Tiếp theo, ta thực hiện phân tích thành các phân số riêng:

$\frac{2}{(s+1)^3 (s+2)} = \frac{A}{(s+1)^3} + \frac{B}{(s+1)^2} + \frac{C}{s+1} + \frac{D}{s+2}$

Nhân hai vế với $(s+1)^3 (s+2)$ để loại mẫu số: $2 = A(s+2) + B(s+1)(s+2) + C(s+1)^2 (s+2) + D(s+1)^3$

Để tìm các hệ số A, B, C, D, ta chọn các giá trị thích hợp cho $s$ hoặc so sánh hệ số.

Sau khi giải hệ phương trình, ta thu được: $A = 2$ , $\quad B = -2$ , $\quad C = 2$ , $\quad D = -2$

Do đó, $Y(s) = \frac{2}{(s+1)^3} - \frac{2}{(s+1)^2} + \frac{2}{s+1} - \frac{2}{s+2}$

Bước 3: Áp Dụng Biến Đổi Laplace Ngược

Sử dụng bảng biến đổi Laplace ngược:

$\mathcal{L}^{-1} \left( \frac{n!}{(s-a)^{n+1}} \right) = t^n e^{at}$

Áp dụng cho từng thành phần:

$\mathcal{L}^{-1} \left( \frac{2}{(s+1)^3} \right) = t^2 e^{-t}$

$\mathcal{L}^{-1} \left( \frac{-2}{(s+1)^2} \right) = -2t e^{-t}$

$\mathcal{L}^{-1} \left( \frac{2}{s+1} \right) = 2e^{-t}$

$\mathcal{L}^{-1} \left( \frac{-2}{s+2} \right) = -2e^{-2t}$

Cộng tất cả các thành phần lại, ta thu được nghiệm của phương trình:

$y(t) = t^2 e^{-t} - 2t e^{-t} + 2e^{-t} - 2e^{-2t}$

Bước 4: Xác Định Giá Trị Giới Hạn $\lim_{t \to \infty} y(t)</strong>$

Sử dụng định lý giá trị cuối của Laplace:

$\lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{s \to 0} s Y(s)$

$\lim_{s \to 0} s \left( \frac{2}{(s+1)^3 (s+2)} \right)$

Thay $s = 0$ , ta có:

$\lim_{s \to 0} \frac{2s}{(s+1)^3 (s+2)} = \frac{2(0)}{(0+1)^3 (0+2)} = \frac{0}{2} = 0$

Do đó: $\lim_{t \to \infty} y(t) = 0$

Kết Luận

Chúng ta đã tìm được nghiệm của phương trình vi phân sử dụng biến đổi Laplace:

$y(t) = t^2 e^{-t} - 2t e^{-t} + 2e^{-t} - 2e^{-2t}$

Ngoài ra, giá trị cuối cùng của nghiệm khi $t \to \infty$ là 0, phù hợp với tính chất suy giảm của hệ thống. 🚀

hệ thống điều khiển Điều khiển tốc độ và hướng đi của ô tô

Menu Điều Khiển>>

Tin tức

Phương trình vi phân với phép biến đổi Laplace

Bước 1: Biến Đổi Phương Trình Sang Miền Laplace

Bước 2: Phân Tích Đa Thức Mẫu Số

Bước 3: Áp Dụng Biến Đổi Laplace Ngược

Bước 4: Xác Định Giá Trị Giới Hạn $\lim_{t \to \infty} y(t)</strong>$

Kết Luận

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc