Tìm biến đổi ngược Laplace của F(s)

Trong ví dụ này, chúng ta sẽ tìm biến đổi Laplace phổ quát của hàm $F(s)$ và giá trị cuối cùng của hàm đó. Như bạn đã biết, có hai cách để tìm giá trị cuối cùng của $F(s)$ :

Áp dụng định lý giá trị cuối cùng trực tiếp trên $F(s)$ trong miền $S$ .
Tìm biến đổi ngược Laplace của $F(s)$ , tức là $F(t)$ , và sau đó tính giới hạn của $f(t)$ khi thời gian tiến tới vô cùng.

Hãy thử cả hai phương pháp và so sánh kết quả.

Phương pháp 1: Tìm biến đổi ngược Laplace của F(s)

Như bạn thấy, hàm $F(s)$ ở đây không thể tìm được trực tiếp trong bảng biến đổi Laplace. Để làm điều này, chúng ta cần phân rã hàm này thành các phân số nhỏ hơn mà có thể tra cứu trong bảng biến đổi Laplace. Để phân rã phân thức này, trước tiên, chúng ta cần xác định các phân số con sẽ được ghép lại để tạo thành $F(s)$ . Với loại mẫu thức này, ta có thể viết $F(s)$ dưới dạng: $F(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2} + \frac{C}{(s+2)^2}$

Tiếp theo, tìm mẫu thức chung cho biểu thức này. Mẫu thức chung là $s(s+2)^2$ . Sau khi tìm mẫu thức chung, chúng ta sẽ nhân từng phân số với các yếu tố cần thiết để có cùng mẫu thức, ví dụ:

Với A, ta có $\frac{A(s+2)^2}{s(s+2)^2}$
Với B, ta có $\frac{B s (s+2)}{s(s+2)^2}$
Với C, ta có $\frac{C s}{s(s+2)^2}$

Sau đó, mở rộng và nhóm các hệ số với $s^2$ , $s$ , và các hằng số để giải ra hệ phương trình:

Hệ số của $s^2$ là A + B = 0
Hệ số của $s$ là 4A + 2B + C = 0
Hệ số của hằng số là 4A = 1

Giải hệ phương trình này, ta tìm được $A = \frac{1}{4}$ , $B = -\frac{1}{4}$ , và $C = -\frac{1}{2}$ .

Vậy ta có thể viết lại $F(s)$ dưới dạng: $F(s) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{s} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{s+2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(s+2)^2}$

Mỗi phân thức này có thể tra cứu trong bảng biến đổi Laplace. Từ đó, biến đổi ngược Laplace của $F(s)$ là: $f(t) = \frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot e^{-2t} - \frac{1}{2} \cdot t e^{-2t}$

Nên ta có: $\displaystyle\lim_{t\to\infty}f(t)=\frac{1}{4}$

Phương pháp 2: Sử dụng Định lý Giá trị Cuối cùng

Nếu không muốn tính biến đổi ngược Laplace, chúng ta có thể tìm giá trị cuối cùng trực tiếp từ biểu thức ban đầu trong miền $S$ bằng cách sử dụng định lý giá trị cuối cùng. Định lý này cho biết:
$\displaystyle\lim_{t\to\infty}f(t)=\displaystyle\lim_{s\to 0}sF(s)$

Với $F(s) = \frac{1}{(s+2)^2}$ , ta có: $\displaystyle\lim_{t\to 0}sF(s)=\lim_{t\to 0}s\frac{1}{(s+2)^{2}}=\frac{1}{4}$

Kết quả

Dù chúng ta áp dụng phương pháp nào, kết quả cuối cùng đều cho giá trị $\frac{1}{4}$ cho hàm $F(s)$ hoặc $F(t)$ khi $t$ tiến đến vô cùng. Điều này chứng tỏ rằng cả hai phương pháp đều chính xác và mang lại kết quả tương tự nhau.

hệ thống điều khiển Điều khiển tốc độ và hướng đi của ô tô

Menu Điều khiển>>

Các bài toán hệ thống điều khiển, Kỹ thuật

Tìm biến đổi ngược Laplace của F(s)

Phương pháp 1: Tìm biến đổi ngược Laplace của F(s)

Phương pháp 2: Sử dụng Định lý Giá trị Cuối cùng

Kết quả

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc