Tìm phản ứng thời gian của khối lượng-lò xo với biến đổi Laplace và điều kiện ban đầu

Ở đây chúng ta có một hệ thống lò xo(spring) và khối lượng(mass), trong đó mass được kết nối với spring, và spring được gắn vào một điểm cố định. Câu hỏi đặt ra là nếu mass được thả ra từ trạng thái nghỉ khi spring bị kéo dài một khoảng alpha, hãy tính toán phản ứng theo thời gian của độ dịch chuyển của mass, mà chúng ta sẽ gọi là y(t).

tìm phản ứng thời gian của khối lượng(mass) lò xo(spring) với biến đổi laplace và điều kiện ban đầu

1. Xác định điều kiện ban đầu

Có hai thông tin quan trọng trong bài toán này:

Khối lượng được thả từ trạng thái nghỉ
- Nghĩa là vận tốc ban đầu của khối lượng bằng 0 nên ta có điều kiện : $\dot{y}(0)=0$
Khối lượng được thả khi lò xo bị kéo dãn một đoạn α
- Điều này có nghĩa là tại thời điểm t = 0, lò xo bị kéo dãn một khoảng α so với vị trí cân bằng nên ta có điều kiện ban đầu thứ hai là: $y(0)=\alpha$

2. Lập phương trình chuyển động

Để tìm phương trình chuyển động, ta sử dụng sơ đồ vật tự do (FBD – Free Body Diagram). Các lực tác dụng lên khối lượng m bao gồm:

Lực đàn hồi của lò xo: Được xác định theo định luật Hooke, có độ lớn là K.y, trong đó K là độ cứng của lò xo.
Lực này có hướng ngược lại với hướng dịch chuyển của khối lượng, do đó ta viết: $F=-Ky$
Theo định luật II Newton: $m\ddot{y}=-Ky$
Sắp xếp lại phương trình: $m\ddot{y}+Ky=0$
Đây là phương trình vi phân bậc hai mô tả dao động tự do của khối lượng.

3. Giải phương trình vi phân bằng biến đổi Laplace

Ta áp dụng biến đổi Laplace cho phương trình: $m\ddot{y}+Ky=0$

Biến đổi Laplace của đạo hàm bậc hai: $\pounds(\ddot{y})=s^{2}Y(s)-sy(0)-\dot{y}(0)$
Thay điều kiện ban đầu vào: $\pounds(\ddot{y})=s^{2}Y(s)-s\alpha$
Thay vào phương trình gốc: $m(s^{2}Y(s)-s\alpha)+KY(s)=0$
Rút gọn: $ms^{2}Y(s)+KY(s)=ms\alpha$
Đưa Y(s) về một vế: $Y(s)(ms^{2}+K)=ms\alpha$
Giải Y(s): $Y(s)=\frac{ms\alpha}{ms^{2}+K}$
Chia cả tử và mẫu cho m: $Y(s)=\frac{s\alpha}{s^{2}+\frac{K}{m}}$
Nhận thấy mẫu số có dạng chuẩn: $s^{2}+\omega^{2}$ với $\omega=\sqrt{\frac{K}{m}}$
Dùng bảng biến đổi Laplace ngược: $\pounds^{-1}\left(\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}\right)=cos(\omega t)$
Do đó, nghiệm của phương trình là: $y(t)=\alpha cos\left(\sqrt{\frac{K}{m}}t\right)$

4. Ý nghĩa vật lý của nghiệm

Dạng dao động điều hòa: Phương trình y(t) = α cos(ωt) cho thấy khối lượng dao động qua lại quanh vị trí cân bằng.
Không có lực cản: Không có thành phần tắt dần (như hệ số ma sát hoặc hệ số nhớt), nghĩa là hệ dao động mà không mất năng lượng.
Chu kỳ dao động: $T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}$
Tần số dao động: $f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K}{m}}$
Các cực trị (poles) của hệ: Nghiệm đặc trưng của hệ dao động tự do này chỉ có phần ảo, không có phần thực, tức là nghiệm hoàn toàn là dao động điều hòa.

5. Kết luận

Bài toán mô tả một hệ dao động điều hòa đơn giản, với phương trình chuyển động là: $y(t)=\alpha cos\left(\sqrt{\frac{K}{m}}t\right)$

Hệ này bảo toàn năng lượng, không có yếu tố cản trở nên dao động của nó không tắt dần theo thời gian.

Menu Điều Khiển>>

Các bài toán hệ thống điều khiển, Tin tức

Tìm phản ứng thời gian của khối lượng-lò xo với biến đổi Laplace và điều kiện ban đầu

1. Xác định điều kiện ban đầu

2. Lập phương trình chuyển động

3. Giải phương trình vi phân bằng biến đổi Laplace

4. Ý nghĩa vật lý của nghiệm

5. Kết luận

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc