Bài giảng 1 | Giới thiệu về phương trình vi phân

Phương trình vi phân là một phương trình của một hàm số có chứa các đạo hàm của hàm số đó. Ví dụ, các phương trình vi phân cho mạch RLC, con lắc, và sự khuếch tán của thuốc nhuộm được cho bởi:

Phương trình vi phân cho mạnh RLC:
$L\frac{\mathrm{d^2}q}{\mathrm{d}t^2}+R\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{C}q=\xi _{0}cos\omega t$

Phương trình vi phân cho con lắc

$ml\frac{\mathrm{d^2}\theta}{\mathrm{d}t^2}+cl\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}+mg sin\theta=F_{0}cos\omega t$

Phương trình vi phân cho sự khuếch tán thuốc nhuộm

$\frac{\partial u}{\partial t}=D\begin{pmatrix}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\end{pmatrix}$

Đây là các phương trình vi phân cấp hai, được phân loại dựa trên cấp cao nhất của đạo hàm.
Phương trình mạch RLC (và phương trình con lắc) là phương trình vi phân thông thường, gọi là ODE (Ordinary Differential Equation), trong khi phương trình khuếch tán là phương trình vi phân từng phần, gọi là PDE (Partial Differential Equation).

Một ODE là phương trình cho một hàm của một biến số duy nhất, còn PDE là phương trình cho một hàm của nhiều biến số. Về lý thuyết, một PDE tương đương với một số vô hạn các ODE, và việc giải số các PDE phi tuyến có thể cần đến tài nguyên từ siêu máy tính.

Phương trình mạch RLC và phương trình khuếch tán là tuyến tính, trong khi phương trình con lắc là phi tuyến. Trong một phương trình vi phân tuyến tính, hàm chưa biết và các đạo hàm của nó xuất hiện dưới dạng đa thức tuyến tính. Ví dụ, phương trình ODE tuyến tính cấp ba tổng quát, với $y=y(x)$ và dấu phẩy biểu thị đạo hàm theo x, được cho bởi:

$a_{3}(x)y^{'''}+a_{2}(x)y^{''}+a_{1}(x)y^{'}+a_{0}(x)y=b(x)$

Trong đó, các hệ số aa và bb có thể là bất kỳ hàm số nào của xx. Phương trình con lắc là phi tuyến do có chứa thành phần $sin\theta$ , với $\theta=\theta(t)$ là hàm chưa biết. Khi sử dụng xấp xỉ góc nhỏ, $sin\theta\simeq\theta$ , phương trình con lắc trở thành tuyến tính.

Loại ODE đơn giản nhất có thể được giải bằng cách tích phân. Ví dụ, một vật có khối lượng, như quả táo nổi tiếng của Newton, rơi xuống với gia tốc không đổi, và thỏa mãn phương trình vi phân sau:

$\frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}t^2}=-g$

Với các điều kiện ban đầu xác định chiều cao ban đầu của vật $x_{0}$ và vận tốc ban đầu $u_{0}$ , nghiệm của phương trình, được tìm ra bằng cách tích phân đơn giản, được cho bởi phương trình vật lý phổ biến ở trường trung học:

$x(t)=x_{0}+u_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2}$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 1 | Giới thiệu về phương trình vi phân

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy