Bài giảng 24: Chéo hóa ma trận đối xứng

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Một ma trận đối xứng là một ma trận $A$ thỏa mãn điều kiện $A^T=A$ (ma trận chuyển vị bằng chính nó). Ma trận như vậy nhất thiết phải là ma trận vuông. Các phần tử trên đường chéo chính có thể tùy ý, nhưng các phần tử còn lại xuất hiện theo từng cặp đối xứng qua đường chéo chính.

Ví dụ 1: Trong các ma trận sau đây, chỉ ba ma trận đầu tiên là ma trận đối xứng:

Đối xứng

$\begin{bmatrix}1&0\\0&-3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&5&8\\0&8&-7\\\end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\\\end{bmatrix}$

Không đối xứng

$\begin{bmatrix}1&0\\0&-3\\\end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix}1&-4&0\\-6&1&-4\\0&-6&1\\\end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix}5&4&3&2\\4&3&2&1\\3&2&1&0\\\end{bmatrix}$

Để bắt đầu nghiên cứu ma trận đối xứng, chúng ta nên ôn lại quá trình chéo hóa.

Ví dụ 2: Nếu có thể, hãy chéo hóa ma trận

$A=\begin{bmatrix}6&-2&-1\\-2&6&-1\\-1&-1&5\\\end{bmatrix}$ .

Giải: Phương trình đặc trưng của ma trận $A$ là:

$0=-\lambda^3+17\lambda^2-90\lambda+144=-(\lambda-8)(\lambda-6)(\lambda-3)$

Từ đây, ta có ba giá trị riêng:

Các phép tính tiêu chuẩn tạo ra một cơ sở cho từng không gian riêng:

$\begin{matrix}\lambda=8:\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix};&\lambda=6:\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix};&\lambda=3:\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\\\end{matrix}$

Ba vectơ này tạo thành một cơ sở cho $\mathbb{R}^3$ . Dễ dàng kiểm tra rằng $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}$ là một cơ sở trực giao. Từ kinh nghiệm trong phần 6, ta biết rằng cơ sở trực chuẩn sẽ hữu ích cho tính toán. Dưới đây là các vectơ riêng đơn vị (chuẩn hóa các vectơ trên):

$\mathbf{u}_1=\begin{bmatrix}-1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}\\0\end{bmatrix},\quad\mathbf{u}_2=\begin{bmatrix}-1/\sqrt{6}\\-1/\sqrt{6}\\2/\sqrt{6}\end{bmatrix},\quad\mathbf{u}_3=\begin{bmatrix}1/\sqrt{3}\\1/\sqrt{3}\\1/\sqrt{3}\end{bmatrix}$

Đặt

$P=\begin{bmatrix}-1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{6}&1/\sqrt{3}\\1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{6}&1/\sqrt{3}\\0&2/\sqrt{6}&1/\sqrt{3}\end{bmatrix},\quad D=\begin{bmatrix}8&0&0\\0&6&0\\0&0&3\\\end{bmatrix}$

Vậy $A=P D P^{-1}$ . Nhưng vì $P$ là ma trận trực chuẩn nên $P^{-1}=P^T$ .

Định lý 1 giải thích tại sao các vectơ riêng trong ví dụ 2 lại trực giao – vì chúng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau.

Định lý 1

Nếu  là ma trận đối xứng, thì bất kỳ hai vectơ riêng nào từ các không gian riêng khác nhau đều trực giao.

Chứng minh: Gọi $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ là các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng phân biệt, giả sử là $\lambda_1$ và $\lambda_2$ . Để chứng minh rằng $\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=0$ , ta tính:

$\begin{matrix}\lambda_1\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=&(\lambda_1\mathbf{v}_1)^T\mathbf{v}_2=(A\mathbf{v}_1)^T\mathbf{v}_2\\=&\mathbf{v}_1^T A^T\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_1^T A\mathbf{v}_2\\=&\mathbf{v}_1^T(\lambda_2\mathbf{v}_2)\\=&\lambda_2\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2\\\end{matrix}$

Do đó $(\lambda_1-\lambda_2)\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=0$ . Vì $\lambda_1\ne\lambda_2$ , , suy ra $\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=0$ .

Dạng chéo hóa đặc biệt trong ví dụ 2 là rất quan trọng đối với lý thuyết về ma trận đối xứng. Một ma trận $n\times n$ được gọi là chéo hóa trực giao nếu tồn tại một ma trận trực giao $P$ (với $P^{-1}=P^T$ ) và một ma trận đường chéo $D$ sao cho:

(1) $\begin{equation*}A=P D P^T=P D P^{-1}\end{equation*}$

Dạng chéo hóa này yêu cầu có nn vectơ riêng độc lập tuyến tính và trực chuẩn. Khi nào điều này xảy ra? Nếu $A$ được chéo hóa trực giao như (1), thì:

$A^T=(P D P^T)^T=P^{TT}D^T P^T=P D P^T=A$

Vậy $A$ là ma trận đối xứng. Định lý 2 dưới đây cho thấy điều ngược lại cũng đúng: mọi ma trận đối xứng đều có thể chéo hóa trực giao. Chứng minh của định lý này khó hơn và được lược bỏ, nhưng ý tưởng chính sẽ được trình bày sau định lý 3.

Định lý 2

Một ma trận  là chéo hóa trực giao được nếu và chỉ nếu nó là ma trận đối xứng.

Định lý này thật đáng kinh ngạc, bởi vì những gì đã học cho thấy rằng thường rất khó để biết liệu một ma trận có chéo hóa được hay không. Nhưng điều đó không đúng đối với ma trận đối xứng.

Ví dụ tiếp theo sẽ xét một ma trận có các giá trị riêng không hoàn toàn phân biệt.

Ví dụ 3: Chéo hóa trực giao ma trận $A=\begin{bmatrix}3&-2&4\\-2&6&2\\4&2&3\\\end{bmatrix}$ , với phương trình đặc trưng là:

$0=-\lambda^3+12\lambda^2-21\lambda-98=-(\lambda-7)^2(\lambda+2)$

Giải: Các phép tính thông thường cho ra cơ sở cho các không gian riêng như sau:

$\lambda=7:\quad\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-1/2\\1\\0\end{bmatrix};\quad\lambda=-2:\quad\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}-1\\-1/2\\1\end{bmatrix}$

Mặc dù $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ là độc lập tuyến tính, nhưng chúng không trực giao. Phép chiếu của $\mathbf{v}_2$ lên $\mathbf{v}_1$ là $\frac{\mathbf{v}_2\mathbf{\cdot v}_1}{\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_1}\cdot\mathbf{v}_1$ , và thành phần của $\mathbf{v}_2$ trực giao với $\mathbf{v}_1$ là:

$\mathbf{z}_2=\mathbf{v}_2-\frac{\mathbf{v}_2\cdot\mathbf{v}_1}{\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_1}\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}-1/2\\1\\0\end{bmatrix}-\frac{-1/2}{2}\cdot\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1/4\\1\\1/4\end{bmatrix}$

Vậy thì tập $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{z}_2\}$ là một tập trực giao trong không gian riêng ứng với $\lambda=7$ . (Lưu ý rằng $\mathbf{z}_2$ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ riêng $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ , nên $\mathbf{z}_2$ cũng thuộc không gian riêng đó. Cách xây dựng $\mathbf{z}_2$ này chính là quy trình Gram-Schmidt.) Vì không gian riêng là hai chiều (với cơ sở là $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}$ ), nên tập trực giao $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{z}_2\}$ cũng là một cơ sở trực giao cho không gian riêng, theo Định lý Cơ sở.

Chuẩn hóa $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{z}_2$ , ta thu được cơ sở trực chuẩn (orthonormal basis) cho không gian riêng ứng với $\lambda=7$ :

$\mathbf{u}_1=\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\0\\1/\sqrt{2}\end{bmatrix},\quad\mathbf{u}_2=\begin{bmatrix}-1/\sqrt{18}\\4/\sqrt{18}\\1/\sqrt{18}\end{bmatrix}$

Còn cơ sở trực chuẩn cho không gian riêng ứng với $\lambda=-2$ là:

$\mathbf{u}_3=\frac{1}{\left\|2\mathbf{v_{3}}\right\|}2\mathbf{v_{3}}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}-2\\-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2/3\\-1/3\\2/3\end{bmatrix}$

Theo định lý 1, $\mathbf{u}_3$ trực giao với các vectơ riêng khác là $\mathbf{u}_1$ và $\mathbf{u}_2$ . Do đó, tập $\{\mathbf{u_1,u_2,u_3}\}$ là một tập trực chuẩn. Gọi

$P=[\mathbf{u}_1\;\;\mathbf{u}_2\;\;\mathbf{u}_3]=\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{18}&-2/3\\0&4/\sqrt{18}&-1/3\\1/\sqrt{2}&1/\sqrt{18}&2/3\\\end{bmatrix},\quad D=\begin{bmatrix}7&0&0\\0&7&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}$

Khi đó, $P$ chéo hóa trực giao ma trận $A$ , và ta có $A=P D P^{-1}$ .

Trong Ví dụ 3, trị riêng 7 có bội đại số bằng 2, và không gian riêng tương ứng là hai chiều. Điều này không phải ngẫu nhiên, như định lý tiếp theo sẽ cho thấy.

Định lý 3 Định lý phổ cho các ma trận đối xứng 

Một ma trận đối xứng kích thước  có các tính chất sau:
a.	Ma trận  có nn giá trị riêng thực, kể cả khi tính theo bội số đại số.
b.	Số chiều của không gian riêng ứng với mỗi giá trị riêng  bằng đúng bội số của  như một nghiệm của phương trình đặc trưng.
c.	Các không gian riêng trực giao với nhau, theo nghĩa là các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau thì trực giao.
d.	Ma trận  có thể chéo hóa trực giao.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 24: Chéo hóa ma trận đối xứng

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy