Bài giảng 25: Phân tích phổ

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Giả sử $A=PDP^{-1}$ , trong đó các cột của $P$ là các vectơ riêng trực chuẩn $\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_n$ của ma trận $A$ , và các giá trị riêng tương ứng $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ nằm trên đường chéo chính của ma trận $D$ . Khi đó, vì $P^{-1}=P^T$ , ta có:

$A=PDP^T=\begin{bmatrix}\mathbf{u_{1}}&\cdots&\mathbf{u_{n}}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda _{1}&&0\\&\ddots&\\0&&\lambda _{n}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{u}_{1}^{T}\\\vdots\\\mathbf{u}_{n}^{T}\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}\lambda _{1}\mathbf{u_{1}}&\cdots&\lambda _{n}\mathbf{u_{n}}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{u}_{1}^{T}\\\vdots\\\mathbf{u}_{n}^{T}\end{bmatrix}$

Sử dụng khai triển tích ma trận theo cột-hàng, ta có thể viết:

(2) $\begin{equation*}A=\lambda_1\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1^T+\lambda_2\mathbf{u}_2\mathbf{u}_2^T+\cdots+\lambda_n\mathbf{u}_n\mathbf{u}_n^T\end{equation*}$

Biểu thức này được gọi là phân tích phổ của $A$ , vì nó phân rã $A$ thành các thành phần được xác định bởi phổ (tức là các giá trị riêng) của nó. Mỗi hạng tử trong biểu thức trên là một ma trận $n\times n$ hạng 1. Ví dụ, mọi cột của ma trận $\lambda_1\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1^T$ đều là bội của $\mathbf{u}_1$ . Hơn nữa, mỗi ma trận $\mathbf{u}_j\mathbf{u}_j^T$ là một ma trận chiếu theo nghĩa sau: với mọi vectơ $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$ , tích $\mathbf{u}_j\mathbf{u}_j^T\mathbf{x}$ chính là hình chiếu trực giao của $\mathbf{x}$ lên không gian con được sinh bởi $\mathbf{u}_j$ .

Ví dụ 4: Xây dựng phân tích phổ của ma trận $A$ , với chéo hoá trực giao cho trước như sau:

$A=\begin{bmatrix}7&2\\2&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2/\sqrt{5}&-1/\sqrt{5}\\1/\sqrt{5}&2/\sqrt{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}8&0\\0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2/\sqrt{5}&1/\sqrt{5}\\-1/\sqrt{5}&2/\sqrt{5}\end{bmatrix}$

Giải: Ký hiệu các cột của $P$ là $\mathbf{u}_1$ và $\mathbf{u}_2$ . Khi đó:

$A=8\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1^T+3\mathbf{u}_2\mathbf{u}_2^T$

Để kiểm tra phân tích này đúng, ta tính:

$\begin{matrix}\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1^T=&\begin{bmatrix}2/\sqrt{5}\\1/\sqrt{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2/\sqrt{5}&1/\sqrt{5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4/5&2/5\\2/5&1/5\\\end{bmatrix}\\\mathbf{u}_2\mathbf{u}_2^T=&\begin{bmatrix}-1/\sqrt{5}\\2/\sqrt{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1/\sqrt{5}&2/\sqrt{5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/5&-2/5\\-2/5&4/5\\\end{bmatrix}\\\end{matrix}$

và

$8\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1^T+3\mathbf{u}_2\mathbf{u}_2^T=\begin{bmatrix}32/5&16/5\\16/5&8/5\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3/5&-6/5\\-6/5&12/5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&2\\2&4\end{bmatrix}=A$

Ghi chú số học

Khi ma trận $A$ là đối xứng và không quá lớn, các thuật toán máy tính hiệu suất cao hiện đại có thể tính toán giá trị riêng và vectơ riêng với độ chính xác rất cao. Những thuật toán này thực hiện một chuỗi biến đổi tương đồng lên $A$ , sử dụng các ma trận trực giao. Các phần tử trên đường chéo của các ma trận đã biến đổi sẽ hội tụ nhanh chóng đến các giá trị riêng của $A$ .

Việc sử dụng ma trận trực giao giúp hạn chế sai số số học tích lũy trong quá trình tính toán. Khi $A$ là ma trận đối xứng, chuỗi các ma trận trực giao sẽ kết hợp lại thành một ma trận trực giao duy nhất, trong đó các cột là các vectơ riêng của $A$ .

Trong khi đó, nếu $A$ không đối xứng, thì không thể có đầy đủ một tập vectơ riêng trực giao. Tuy nhiên, thuật toán vẫn có thể cho ra các giá trị riêng khá chính xác. Sau đó, để tính được các vectơ riêng, cần sử dụng các phương pháp không trực giao.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 25: Phân tích phổ

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy