Bài giảng 27: Một góc nhìn hình học về các trục chính

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Giả sử , trong đó là ma trận đối xứng khả nghịch kích thước , và là một hằng số. Có thể chứng minh rằng tập hợp tất cả các vector thỏa mãn:

(3)  

tương ứng với một trong các hình: một elip (hoặc hình tròn), một hyperbol, hai đường thẳng cắt nhau, một điểm duy nhất, hoặc không có điểm nào. Nếu là ma trận chéo, đồ thị của phương trình này sẽ nằm ở vị trí chuẩn (ví dụ như trong hình 2).

Nếu không phải là ma trận chéo, thì đồ thị sẽ bị quay khỏi vị trí chuẩn, như minh họa trong hình 3.

Việc tìm các trục chính (được xác định bởi các vector riêng của ) tương đương với việc tìm một hệ tọa độ mới sao cho đồ thị của phương trình ở vị trí chuẩn trong hệ tọa độ đó.

Hyperbol trong hình 3(b) là đồ thị của phương trình , trong đó là ma trận được dùng trong ví dụ 4. Trục dương trong hình 3(b) nằm theo hướng của cột đầu tiên trong ma trận của ví dụ 4, còn trục dương nằm theo hướng của cột thứ hai của .

Ví dụ 5: Elip trong hình 3(a) là đồ thị của phương trình: . Hãy tìm một phép đổi biến để loại bỏ hạng tử tích chéo khỏi phương trình.

Giải: Ma trận của dạng toàn phương là . Các giá trị riêng của là 3 và 7, với các vector riêng đơn vị tương ứng:

Đặt .

Khi đó, chéo hóa trực chuẩn ma trận , nên phép đổi biến sẽ biến đổi dạng toàn phương thành: . Các trục mới sau phép đổi biến này được thể hiện trong hình 3(a).