Bài giảng 28: Phân loại Dạng Toàn Phương

Khi $A$ là một ma trận $n\times n$ , thì dạng toàn phương $Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$ là một hàm số thực với miền xác định là $\mathbb{R}^n$ . Hình 4 minh họa các đồ thị của bốn dạng toàn phương với miền xác định là $\mathbb{R}^2$ . Với mỗi điểm $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ trong miền xác định của một dạng toàn phương $Q$ , đồ thị thể hiện điểm $(x_1,x_2,z)$ trong không gian, trong đó $z=Q(\mathbf{x})$ . Hãy lưu ý rằng, ngoại trừ tại $\mathbf{x}=0$ , các giá trị của $Q(\mathbf{x})$ là dương trong hình 4(a), và âm trong hình 4(d). Các mặt cắt ngang theo phương ngang của các đồ thị là các elip trong hình 4(a) và 4(d), và là các hyperbol trong hình 4(c).

Hình 4: Đồ thị của các dạng toàn phương.

Các ví dụ đơn giản với ma trận $2\times 2$ trong hình 4 minh họa cho các định nghĩa sau:

ĐỊNH NGHĨA Một dạng toàn phương  được gọi là:
a.	Dương xác định nếu ,
b.	Âm xác định nếu ,
c.	Không xác định nếu  nhận cả giá trị dương và âm.

Ngoài ra, $Q$ được gọi là dương bán xác định nếu $Q(\mathbf{x})\ge 0$ với mọi $\mathbf{x}$ , và âm bán xác định nếu $Q(\mathbf{x})\le 0$ với mọi $\mathbf{x}$ . Các dạng toàn phương trong phần (a) và (b) của hình 4 đều là dương bán xác định, nhưng dạng trong (a) được mô tả chính xác hơn là dương xác định.

Định lý 5 mô tả một số dạng toàn phương thông qua các giá trị riêng.

ĐỊNH LÝ 5 Dạng toàn phương và giá trị riêng
Cho  là một ma trận đối xứng kích thước . Khi đó, dạng toàn phương  là:

a.	Dương xác định khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của  đều dương,
b.	Âm xác định khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của  đều âm,
c.	Không xác định khi và chỉ khi  có cả giá trị riêng dương và âm.

Chứng minh Theo Định lý Trục Chính, tồn tại một phép đổi biến trực giao x=Py\mathbf{x} = P\mathbf{y} sao cho:

(4) $\begin{equation*}Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}=\mathbf{y}^T D\mathbf{y}=\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\cdots+\lambda_n y_n^2\end{equation*}$

trong đó $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ là các giá trị riêng của $A$ . Vì $P$ khả nghịch, nên tồn tại một ánh xạ một – một giữa tất cả các vector $\mathbf{x}\ne 0$ và $\mathbf{y}\ne 0$ . Do đó, giá trị của $Q(\mathbf{x})$ với $\mathbf{x}\ne 0$ cũng chính là giá trị của biểu thức ở vế phải, và hiển nhiên phụ thuộc hoàn toàn vào dấu của các giá trị riêng $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ , theo đúng ba trường hợp đã nêu trong định lý.

Ví dụ 6: Xét $Q(\mathbf{x})=3x_1^2+2x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+4x_2x_3$ . Dạng toàn phương này có phải là dương xác định không?

Giải: Vì các hệ số đều là số dương nên ta có thể cảm thấy như nó là dương xác định. Tuy nhiên, ma trận của dạng toàn phương này là:

$A=\begin{bmatrix}3&2&0\\2&2&2\\0&2&1\end{bmatrix}$

Các giá trị riêng của $A$ là 5, 2 và -1. Do đó, $Q$ là một dạng toàn phương không xác định, chứ không phải dương xác định như thoạt nhìn.

Việc phân loại một dạng toàn phương thường cũng được áp dụng cho ma trận của dạng đó. Vì vậy, một ma trận đối xứng $A$ được gọi là dương xác định nếu dạng toàn phương $\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$ là dương xác định. Các thuật ngữ khác như ma trận dương bán xác định cũng được định nghĩa tương tự.

Ghi chú toán học

Một cách nhanh để xác định xem một ma trận đối xứng $A$ có phải là dương xác định hay không là thử phân tích $A$ dưới dạng $A=R^T R$ , trong đó $R$ là một ma trận tam giác trên với các phần tử trên đường chéo chính dương. (Một biến thể nhẹ của thuật toán phân tích LU là một phương pháp tiếp cận cho việc này.) Phân tích như vậy được gọi là phân tích Cholesky, và nó chỉ khả thi khi ma trận $A$ là dương xác định.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 28: Phân loại Dạng Toàn Phương

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy