Tìm Giá Trị Cuối Cùng Của Hàm Sử Dụng biến đổi Laplace ngược và phân số một phần

Hàm $f(s)$ được biểu diễn trong miền tần số dưới dạng phân số với tử số là 10 và mẫu số là $s$ nhân với $(s + 1)$ nhân với $(s + 10)$ . Chúng ta cần tìm phản ứng theo thời gian của $f(t)$ và giá trị cuối cùng của $f(t)$ , tức là giá trị của $f(t)$ khi thời gian tiến tới vô cùng.

Trong miền tần số, hàm $F(s)$ được biểu diễn dưới dạng: $F(s) = \frac{10}{s(s+1)(s+10)}$

Chúng ta cần tìm phản hồi theo thời gian $f(t)$ của hàm này và đặc biệt là giá trị cuối cùng của $f(t)$ khi $t \to \infty$ .

Hai Phương Pháp Tìm Giá Trị Cuối Cùng

Có hai phương pháp để xác định giá trị cuối cùng của $f(t)$ :

Phương pháp 1: Tìm biến đổi ngược Laplace của $F(s)$ để thu được $f(t)$ , sau đó lấy giới hạn của $f(t)$ khi $t\to \infty$ .
Phương pháp 2: Sử dụng định lý giá trị cuối cùng mà không cần tìm $f(t)$ , giúp tiết kiệm thời gian tính toán.

Theo định lý giá trị cuối cùng: $\lim\limits_{t \to \infty} f(t) = \lim\limits_{s \to 0} s F(s)$

Áp dụng công thức trên cho hàm $F(s)$ : $\lim\limits_{s \to 0} s \times \frac{10}{s(s+1)(s+10)}$

Rút gọn $s$ , ta có: $\lim\limits_{s \to 0} \frac{10}{(s+1)(s+10)}$

Thay $s = 0$ , ta được: $\frac{10}{(0+1)(0+10)} = \frac{10}{10} = 1$

Vậy giá trị cuối cùng của $f(t)$ là 1.

Phương Pháp Biến Đổi Ngược Laplace

Chúng ta cũng có thể tìm giá trị cuối cùng bằng cách lấy biến đổi ngược Laplace của $F(s)$ . Để làm được điều này, ta cần phân tích $F(s)$ thành các phân số đơn giản: $F(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s+10}$

Xác định hệ số A, B, C

Nhân cả hai vế với mẫu số chung $s(s+1)(s+10)$ và giải hệ phương trình, ta thu được: $A = 1, \quad B = -\frac{10}{9}, \quad C = \frac{1}{9}$

Tìm Biến Đổi Ngược Laplace

Từ bảng biến đổi Laplace: $\mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s} \right) = 1, \quad \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s+1} \right) = e^{-t}, \quad \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s+10} \right) = e^{-10t}$

Do đó: $f(t)= 1 - \frac{10}{9} e^{-t} + \frac{1}{9} e^{-10t}$