Bài giảng 1:  Định thức.

Lesson Attachments

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Cân kim cương

Làm thế nào để xác định giá trị của một viên kim cương? Thợ kim hoàn sử dụng bốn tiêu chí chính: giác cắt, độ tinh khiết, màu sắc và trọng lượng (carat); trong đó, carat là đơn vị đo khối lượng, tương đương với 0,2 gram. Khi nhận một lô kim cương, việc cân chính xác là rất quan trọng để xác định giá trị của chúng. Sự chênh lệch chỉ nửa carat có thể ảnh hưởng lớn đến giá trị của một viên kim cương.

Khi cân các vật nhỏ, chẳng hạn như kim cương hoặc đá quý khác, một cách tiếp cận đơn giản là cân từng viên riêng lẻ. Tuy nhiên, có những phương pháp chính xác hơn bằng cách cân nhiều viên cùng lúc rồi suy ra khối lượng từng viên từ kết quả thu được.

Giả sử có n vật nhỏ cần cân, được đánh số s_{1},\,s_{2},\,...,s_{n}. Một phương pháp xác định khối lượng của từng vật là sử dụng cân hai đĩa. Mỗi lần cân bao gồm việc đặt một số vật lên đĩa bên trái và phần còn lại lên đĩa bên phải. Cân sẽ ghi nhận sự chênh lệch trọng lượng giữa hai đĩa.

Thợ kim hoàn (hoặc bất kỳ ai cần cân các vật nhỏ, nhẹ) lập kế hoạch cân từ trước bằng cách xây dựng ma trận thiết kế D, với các phần tử được xác định theo quy tắc sau:

  • Nếu viên đá quý s_{j} được đặt vào đĩa trái trong lần cân thứ i, thì d_{ij}=-1.
  • Nếu viên đá quý s_{j} được đặt vào đĩa phải trong lần cân thứ i, thì d_{ij}=-1.

Mỗi hàng của ma trận D tương ứng với một lần cân cụ thể. Cột thứ j trong D cho biết vị trí của viên đá s_{j} trong mỗi lần cân. Như vậy, D là một ma trận kích thước m\times n, trong đó m là số lần cân và n là số vật cần cân.

Nghiên cứu đã chỉ ra rằng độ chính xác của phương pháp cân đạt cao nhất khi sử dụng ma trận thiết kế sao cho định thức của D^{T}D đạt giá trị lớn nhất.

Ví dụ, xét ma trận D=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&1\\1&1&-1&1\\1&1&1&-1\\\end{bmatrix} dùng để cân bốn viên đá quý s_{1},\,s_{2},\,s_{3},s_{4}.

  • Lần cân đầu tiên: tất cả bốn viên được đặt vào đĩa phải (hàng đầu tiên của D toàn số 1).
  • Lần cân thứ hai: viên s_{2} đặt vào đĩa trái, các viên còn lại vào đĩa phải (hàng thứ hai có giá trị -1 ở cột thứ hai).
  • Lần cân thứ ba: viên s_{3} đặt vào đĩa trái, các viên còn lại vào đĩa phải.
  • Lần cân cuối cùng: viên s_{4} đặt vào đĩa trái, các viên còn lại vào đĩa phải.

Khi tính định thức của D^{T}D, ta được 64.

Tuy nhiên, đây chưa phải thiết kế tối ưu nhất để xác định khối lượng của bốn viên đá bằng bốn lần cân. Nếu sử dụng một ma trận D khác, định thức của D^{T}D có thể đạt 256, tức là phương án này tốt hơn. Điểm khác biệt là sau lần cân đầu tiên, mỗi lần cân tiếp theo sẽ có hai viên đá đặt vào mỗi đĩa.

Tầm quan trọng của định thức

Tính toán định thức của ma trận và hiểu rõ các tính chất của nó là chủ đề chính của chương này. Khi tìm hiểu sâu hơn, bạn có thể tự phát triển các chiến lược tốt hơn hoặc kém hơn trong việc thiết kế quy trình cân.

Một ứng dụng quan trọng khác của định thức là tính diện tích hình bình hành hoặc thể tích khối hộp. Ở bài trước, chúng ta đã thấy phép nhân ma trận có thể làm thay đổi hình dạng của một khối hộp hoặc một vật thể khác. Giá trị định thức của ma trận phản ánh mức độ thay đổi diện tích hoặc thể tích của hình khi bị biến đổi tuyến tính, giống như cách một câu chuyện phóng đại có thể thay đổi kích thước của một con cá bị bắt.

Thực tế, định thức có rất nhiều ứng dụng. Đầu những năm 1900, nhà toán học Thomas Muir đã viết một bộ sách bốn tập để tổng hợp các ứng dụng của nó. Dù một số ứng dụng quan trọng khi đó đã không còn phổ biến, nhưng định thức vẫn giữ vai trò lý thuyết và thực tiễn quan trọng trong nhiều lĩnh vực ngày nay.

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Hotline: 039.2266.928
Khóa học Toefl
Phone now