Bài giảng 2: Giới thiệu về Định thức

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Nhớ lại rằng một ma trận $2\times 2$ khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó khác không. Để mở rộng tính chất hữu ích này cho các ma trận lớn hơn, chúng ta cần một định nghĩa cho định thức của một ma trận $n\times n$ . Chúng ta có thể khám phá định nghĩa này cho trường hợp $3\times 3$ bằng cách quan sát điều gì xảy ra khi một ma trận khả nghịch $3\times 3$ $A$ được đưa về dạng bậc thang dòng.

Xét ma trận $A=[a_{ij}]$ với $a_{11}\neq 0$ . Nếu ta nhân hàng thứ hai và hàng thứ ba của $A$ với $a_{11}$ , sau đó trừ đi các bội số thích hợp của hàng đầu tiên từ hai hàng còn lại, ta sẽ nhận được ma trận $A$ tương đương hàng với hai ma trận sau:

$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{11}a_{21}&a_{11}a_{22}&a_{11}a_{23}\\a_{11}a_{31}&a_{11}a_{32}&a_{11}a_{33}\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}&a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21}\\0&a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31}&a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31}\\\end{bmatrix}$

Vì $A$ là khả nghịch, nên ít nhất một trong hai phần tử (2,2) hoặc (3,2) trên ma trận này phải khác không. Giả sử phần tử (2,2) khác không (nếu không, ta có thể hoán vị hai hàng trước khi tiếp tục). Tiếp tục biến đổi hàng, nhân hàng thứ ba với $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ , sau đó trừ đi một bội số của hàng thứ hai, ta sẽ có:

$A\sim\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}&a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21}\\0&0&a_{11}\bigtriangleup\\\end{bmatrix}$

ở đây

$\triangle=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$

Vì $A$ là khả nghịch, nên $\triangle$ phải khác không. Ngược lại cũng đúng. Giá trị $\triangle$ này được gọi là định thức của ma trận $3\times 3$ $A$ .

Nhớ lại định thức của một ma trận $2\times 2$ , $A=[a_{ij}]$ , được xác định bởi công thức:

$\text{det}\:A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Với ma trận $1\times 1$ , ví dụ $A=[a_{11}]$ , ta định nghĩa $\det A=a_{11}$ . Để tổng quát hóa định nghĩa của định thức cho các ma trận lớn hơn, ta sử dụng định thức $2\times 2$ để viết lại định thức $3\times 3$ như sau:

$\triangle=a_{11}\det\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}-a_{12}\det\begin{bmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\\\end{bmatrix}+a_{13}\det\begin{bmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{bmatrix}$

Để ngắn gọn, ta viết

(3) $\begin{equation*}\triangle=a_{11}\det A_{11}-a_{12}\det A_{12}+a_{13}\det A_{13}\end{equation*}$

trong đó $A_{11},A_{12},A_{13}$ và $A_{13}$ được tạo ra bằng cách loại bỏ hàng thứ nhất và một trong ba cột của $A$ .

Nói chung, với bất kỳ ma trận vuông $A$ , ta ký hiệu $A_{ij}$ là ma trận con thu được bằng cách loại bỏ hàng thứ $i$ và cột thứ $j$ của $A$ . Ví dụ, nếu:

$A=\begin{bmatrix}1&-2&5&0\\2&0&4&-1\\3&1&0&7\\0&4&-2&0\\\end{bmatrix}$

thì ma trận con $A_{32}$ (loại bỏ hàng 3 và cột 2) là:

Vì thế

$A_{32}=\begin{bmatrix}1&5&0\\2&4&-1\\0&-2&0\\\end{bmatrix}$

Bây giờ, ta có thể đưa ra một định nghĩa đệ quy cho định thức. Khi $n=3,\det A$ được xác định bằng các định thức của các ma trận con $2\times 2$ như công thức trên. Khi $n=46,\det A$ được xác định thông qua các định thức của các ma trận con $3\times 3$ . Tổng quát, định thức của một ma trận $n\times n$ được xác định thông qua các định thức của các ma trận con $(n-1) \times (n-1)$ .

Định nghĩa

Với , định thức của một ma trận   được xác định là tổng của  số hạng có dạng , với các dấu cộng và trừ xen kẽ, trong đó các phần tử  lấy từ hàng đầu tiên của . Công thức tổng quát:

Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận

$A=\begin{bmatrix}1&5&0\\2&4&-1\\0&-2&0\\\end{bmatrix}$

Giải: Tính định thức theo công thức: $\det A=a_{11}\det A_{11}-a_{12}\det A_{12}+a_{13}\det A_{13}$

$\det A=1\det\begin{bmatrix}4&-1\\-2&0\\\end{bmatrix}-5\det\begin{bmatrix}2&-1\\0&0\\\end{bmatrix}+0\det\begin{bmatrix}2&4\\0&-2\\\end{bmatrix}$

$=1(0-2)-5(0-0)+0(-4-0)=-2$

Một ký hiệu phổ biến khác cho định thức của ma trận là sử dụng hai gạch dọc thay vì dấu ngoặc vuông. Do đó, phép tính trong ví dụ 1 có thể được viết dưới dạng:

$\det A=1\begin{vmatrix}4&-1\\-2&0\\\end{vmatrix}-5\begin{vmatrix}2&-1\\0&0\\\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}2&4\\0&-2\\\end{vmatrix}=...=-2$

Để phát biểu định lý tiếp theo, ta có thể viết định nghĩa của det⁡A\det A theo một cách khác. Cho $A=[a_{ij}]$ , phần bù đại số (cofactor) của phần tử $a_{ij}$ là số

(4) $\begin{equation*}C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}\end{equation*}$

Khi đó, định thức của ma trận có thể được viết lại dưới dạng:

$\det A=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\dots+a_{1n}C_{1n}$

Công thức này được gọi là khai triển theo phần bù đại số trên hàng đầu tiên của ma trận $A$ .

Định lý 1: Định thức của một ma trận  có thể được tính bằng khai triển theo phần bù đại số trên bất kỳ hàng nào hoặc cột nào.

• Khai triển theo hàng thứ ii sử dụng các phần bù đại số:
	 
• Khai triển theo cột thứ jj sử dụng các phần bù đại số:

Dấu cộng hoặc trừ trong phần bù đại số $C_{ij}$ phụ thuộc vào vị trí của $a_{ij}$ trong ma trận, không phụ thuộc vào dấu của chính $a_{ij}$ . Hệ số $(-1)^{i+j}$ tạo ra một mẫu dấu hình bàn cờ như sau:

$\begin{bmatrix}+&-&+&\cdots\\-&+&-&\\+&-&+&\\\vdots&&&\ddots\\\end{bmatrix}$

Ví dụ 2: Sử dụng khai triển theo phần bù đại số trên hàng thứ ba để tính $\det A$ , với:

$A=\begin{bmatrix}1&5&0\\2&4&-1\\0&-2&0\\\end{bmatrix}$

Giải: Khai triển theo phần tử đồng dư (cofactor) xuống cột đầu tiên của $A$ , ta thấy tất cả các hạng tử đều bằng 0 ngoại trừ hạng tử đầu tiên. Do đó:

$\det A=3\begin{vmatrix}2&-5&7&3\\0&1&5&0\\0&2&4&-1\\0&0&-2&0\\\end{vmatrix}+0C_{21}+0C_{31}+0C_{41}+0C_{51}$

Từ đây, chúng ta sẽ bỏ qua các hạng tử bằng 0 trong khai triển đồng dư. Tiếp theo, khai triển định thức của ma trận $4\times 4$ xuống cột đầu tiên để tận dụng các số 0, ta có:

$\det A=3(2)\begin{vmatrix}1&5&0\\2&4&-1\\0&-2&0\\\end{vmatrix}$

Định thức của ma trận $3\times 3$ này đã được tính trong ví dụ 1 và có giá trị bằng −2. Do đó:

$\det A=3(2)(-2)=-12$

Ma trận trong ví dụ 3 gần như là ma trận tam giác. Phương pháp trong ví dụ này có thể dễ dàng áp dụng để chứng minh định lý sau:

Định lý 2

Nếu  là một ma trận tam giác, thì định thức của  bằng tích của các phần tử trên đường chéo chính của .

Chiến lược trong ví dụ 3, dựa vào việc tìm kiếm các số 0, hoạt động rất hiệu quả khi một hàng hoặc một cột của ma trận hoàn toàn chứa các số 0. Trong trường hợp này, khai triển theo đồng dư dọc theo hàng hoặc cột đó chỉ tạo ra tổng bằng 0! Do đó, định thức của ma trận sẽ bằng 0.

Tuy nhiên, hầu hết các khai triển theo đồng dư không được tính nhanh như vậy.

Những Giá Trị Hợp Lý

Định thức có thể lớn đến mức nào? Giả sử $A$ là một ma trận $n\times n$ . Khi tính định thức của $A$ , ta thực hiện việc cộng và trừ các tích có nn phần tử. Nếu $p$ là tích của $n$ phần tử lớn nhất theo giá trị tuyệt đối trong ma trận (một số có thể được lặp lại nếu nó xuất hiện nhiều lần trong ma trận), thì định thức phải nằm trong khoảng từ $-np$ đến $np$ .

Ví dụ, xét ma trận $A=\begin{bmatrix}6&5\\-7&9\\\end{bmatrix}$ và $B=\begin{bmatrix}7&6\\7&-9\\\end{bmatrix}$ . Số lớn nhất theo giá trị tuyệt đối trong mỗi ma trận là 9, và số lớn thứ hai là 7. Do đó, $p=7\times 9=63$ và $np=126$ . Định thức của mỗi ma trận này sẽ nằm trong khoảng từ −126 đến 126.

Tính định thức của $A$ và $B$ :

$\det A=(6\times 9)-(5\times(-7))=54+35=89$

$\det B=(7\times(-9))-(6\times 7)=-63-42=-105$

Điều này cho thấy, do các tích được cộng và trừ, nên bất kỳ số nào trong khoảng từ −126 đến 126 đều có thể là giá trị của định thức.

Tiếp theo, xét hai ma trận $C=\begin{bmatrix}7&9\\7&9\\\end{bmatrix}$ và $D=\begin{bmatrix}-9&9\\9&9\\\end{bmatrix}$ . Trong các ma trận $C$ và $D$ , số 9 xuất hiện hai lần, vì vậy nó cần được chọn hai lần. Khi đó, $p=9\times 9=81$ và $np=162$ , do đó, định thức của $C$ và $D$ sẽ nằm trong khoảng từ −162 đến 162.

Tính định thức $\det C=(7\times 9)-(7\times 9)=63-63=0$ và $\det D=(-9\times 9)-(9\times 9)=-81-81=-162$ . Lưu ý rằng việc chọn số 9 hai lần là rất quan trọng để xác định giới hạn đúng cho định thức của ma trận $D$ .

Ghi Chú Số Học

Theo tiêu chuẩn ngày nay, một ma trận $25\times 25$ được coi là nhỏ. Tuy nhiên, việc tính định thức của một ma trận $25\times 25$ bằng phương pháp khai triển theo phần bù đại số là điều gần như không thể. Nói chung, phương pháp này yêu cầu hơn n!phép nhân, và 25! xấp xỉ $1.55\times 10^{25}$ .

Nếu một máy tính thực hiện một nghìn tỷ phép nhân mỗi giây, nó sẽ cần chạy trong gần 500.000 năm để tính định thức của một ma trận $25\times 25$ theo cách này. May mắn thay, có những phương pháp nhanh hơn mà chúng ta sẽ sớm khám phá.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 2: Giới thiệu về Định thức

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy