Bài giảng 7: Biến đổi tuyến tính

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Định thức có thể được sử dụng để mô tả một tính chất hình học quan trọng của các phép biến đổi tuyến tính trong mặt phẳng và trong $\mathbb{R}^3$ . Nếu $T$ là một phép biến đổi tuyến tính và $S$ là một tập hợp trong miền xác định của $T$ , thì $T(S)$ là tập hợp ảnh của các điểm trong $S$ . Chúng ta quan tâm đến cách diện tích (hoặc thể tích) của $T(S)$ so với diện tích (hoặc thể tích) của tập ban đầu $S$ . Để thuận tiện, khi $S$ là một vùng được giới hạn bởi một hình bình hành, ta cũng gọi $S$ là một hình bình hành.

Định lý 10

Cho  là một phép biến đổi tuyến tính được xác định bởi một ma trận  . Nếu  là một hình bình hành trong , thì:

Diện tích của  =  diện tích của 

Nếu TT được xác định bởi một ma trận   và  là một hình hộp trong , thì:
Thể tích của  =  diện tích của

Chứng minh: Xét trường hợp $2\times 2$ , với $A=\begin{bmatrix}\mathbf{a_{1}}&\mathbf{a_{2}}\\\end{bmatrix}$ . Một hình bình hành tại gốc trong $R^2$ được xác định bởi các vector $\mathbf{\mathbf{b_{1}}}$ và $\mathbf{\mathbf{b_{2}}}$ có dạng:

$S=\{s_1\mathbf{b}_1+s_2\mathbf{b}_2:0\leq s_1\leq 1,0\leq s_2\leq 1\}$

Ảnh của $S$ qua $T$ bao gồm các điểm có dạng:

$\begin{matrix}T(s_1\mathbf{b}_1+s_2\mathbf{b}_2)=s_1 T(\mathbf{b}_1)+s_2 T(\mathbf{b}_2)\\=s_1 A\mathbf{b}_1+s_2 A\mathbf{b}_2\end{matrix}$

với $0\leq s_1\leq 1,0\leq s_2\leq 1$ . Do đó, $T(S)$ là hình bình hành được xác định bởi các cột của ma trận $\begin{bmatrix}A\mathbf{b_{1}}&A\mathbf{b_{2}}\\\end{bmatrix}$ , tức là có thể viết dưới dạng $AB$ , với $B=\begin{bmatrix}\mathbf{b_{1}}&\mathbf{b_{2}}\\\end{bmatrix}$ .

Theo Định lý 9 và định lý nhân định thức:

Diện tích của $T(S)=\begin{vmatrix}\det AB\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\det A\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\det B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\det A\end{vmatrix}\times$ diện tích của $S$ .

Một hình bình hành bất kỳ có dạng $\mathbf{p}+S$ , với $\mathbf{p}$ là một vector và $S$ là một hình bình hành tại gốc. Dễ dàng nhận thấy rằng $T$ biến $\mathbf{p}+S$ thành $T(\mathbf{p})+T(S)$ . Do phép tịnh tiến không làm thay đổi diện tích của một tập hợp, ta có:

Diện tích của $T(\mathbf{p}+S)=$ diện tích của $T(\mathbf{p})$ $+\,T(S)=$ diện tích của $T(S)=\begin{vmatrix}\det A\end{vmatrix}\times$ diện tích của $S=\begin{vmatrix}\det A\end{vmatrix}\times$ diện tích của $(\mathbf{p}+S)$

Điều này chứng minh rằng công thức trên đúng cho mọi hình bình hành trong $\mathbb{R}^{2}$ .

Chứng minh cho trường hợp $3\times 3$ là tương tự.

Khi mở rộng ddịnh lý 10 cho một vùng trong $\mathbb{R}^{2}$ hoặc $\mathbb{R}^{3}$ không bị giới hạn bởi các đường thẳng hoặc mặt phẳng, ta cần xác định và tính toán diện tích hoặc thể tích của nó. Đây là một vấn đề được nghiên cứu trong giải tích. Nếu $R$ là một vùng phẳng có diện tích hữu hạn, ta có thể xấp xỉ nó bằng một lưới các ô vuông nhỏ nằm bên trong $R$ . Khi làm cho các ô vuông đủ nhỏ, diện tích của $R$ có thể được xấp xỉ với độ chính xác tùy ý bằng tổng diện tích của các ô vuông nhỏ.

Hình 6: Xấp xỉ một vùng phẳng bằng một hợp các ô vuông. Độ xấp xỉ được cải thiện khi lưới ô vuông trở nên nhỏ hơn.

Nếu $T$ là một phép biến đổi tuyến tính liên quan đến một ma trận $2\times 2$ $A$ , thì ảnh của một vùng phẳng $R$ dưới $T$ được xấp xỉ bằng ảnh của các ô vuông nhỏ bên trong $R$ . Chứng minh của định lý 10 cho thấy rằng mỗi ảnh đó là một hình bình hành có diện tích bằng $|\det A|$ lần diện tích ô vuông ban đầu. Nếu $R'$ là hợp của các ô vuông trong $R$ , thì diện tích của $T(R')$ bằng $|\det A|$ lần diện tích của $R'$ . Đồng thời, diện tích của $T(R')$ cũng gần bằng diện tích của $T(R)$ . Một lập luận dựa trên quá trình giới hạn có thể được sử dụng để biện luận cho sự mở rộng tổng quát của định lý 10.

Hình 7: Xấp xỉ $T(R)$ bằng một hợp các hình bình hành.

Kết luận của định lý 10 đúng trong mọi trường hợp khi  là một miền trong  có diện tích hữu hạn hoặc một miền trong  có thể tích hữu hạn.

Ví dụ 5: Cho $a$ và $b$ là các số dương. Tìm diện tích của miền $E$ bị giới hạn bởi elip có phương trình:

$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}=1$

Giải: Ta khẳng định rằng $E$ là ảnh của đĩa đơn vị $D$ dưới phép biến đổi tuyến tính $T$ được xác định bởi ma trận $A=\begin{bmatrix}a&0\\0&b\\\end{bmatrix}$ , vì nếu $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}$ , $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}$ và $\mathbf{x}=A\mathbf{u}$ , thì $u_{1}=\frac{x_{1}}{a}$ và $u_{2}=\frac{x_{2}}{b}$ .

Do đó, $\mathbf{u}$ nằm trong đĩa đơn vị, với $u_1^2+u_2^2\leq 1$ , nếu và chỉ nếu $\mathbf{x}$ nằm trong $E$ , với $(x_{1}/a)^{2}+(x_{2}/b)^{2}\leq 1$ . Theo khái quát của định lý 10,