Bài giảng 3: Tính Chất Của Định Thức

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Bí quyết của định thức nằm ở cách chúng thay đổi khi thực hiện các phép biến đổi hàng.

Định Lý 3 (Phép Biến Đổi Hàng)

Cho  là một ma trận vuông:

a. Nếu một bội số của một hàng của  được cộng vào một hàng khác để tạo thành ma trận , thì .
b. Nếu hai hàng của  được hoán đổi để tạo thành , thì .
c. Nếu một hàng của  được nhân với  để tạo thành , thì .

Các ví dụ sau đây cho thấy cách sử dụng Định lý 3 để tìm định thức một cách hiệu quả.

Ví Dụ 1: Tính $\det A$ , với

$A=\begin{bmatrix}1&-4&2\\-2&8&-9\\-1&7&0\\\end{bmatrix}$

Giải: Chiến lược là đưa $A$ về dạng bậc thang rồi sử dụng tính chất rằng định thức của một ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. Hai phép thay thế hàng đầu tiên trong cột 1 không làm thay đổi định thức:

$\det A=\begin{vmatrix}1&-4&2\\-2&8&-9\\-1&7&0\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&-4&2\\0&0&-5\\-1&7&0\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&-4&2\\0&0&-5\\0&3&2\\\end{vmatrix}$

Việc hoán đổi hàng 2 và 3 sẽ đảo ngược dấu của định thức, do đó

$\det A=\begin{vmatrix}1&-4&2\\0&3&2\\0&0&-5\\\end{vmatrix}=-(1)(3)(-5)=15$

Một ứng dụng phổ biến của Định lý 3(c) trong tính toán bằng tay là đặt nhân tử chung của một hàng ra ngoài dấu định thức. Ví dụ:

$\begin{vmatrix}\ast&\ast&\ast\\5k&-2k&3k\\\ast&\ast&\ast\\\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}\ast&\ast&\ast\\5&-2&3\\\ast&\ast&\ast\\\end{vmatrix}$

(các phần tử có dấu * không thay đổi). Ta sẽ sử dụng bước này trong ví dụ tiếp theo.

Ví Dụ 2: Tính $\det A$ , với

$A=\begin{bmatrix}2&-8&6&8\\3&-9&5&10\\-3&0&1&-2\\1&-4&0&6\\\end{bmatrix}$

Giải: Để đơn giản hóa phép tính, ta muốn có số 1 ở góc trên bên trái. Có thể hoán đổi hàng 1 và hàng 4, nhưng thay vào đó, ta đặt hệ số 2 ra ngoài từ hàng trên cùng, rồi thực hiện các phép thay thế hàng trong cột đầu tiên:

$\det A=2\begin{vmatrix}1&-4&3&4\\3&-9&5&10\\-3&0&1&-2\\1&-4&0&6\\\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}1&-4&3&4\\0&3&-4&-2\\0&-12&10&10\\0&0&-3&-2\\\end{vmatrix}$

Tiếp theo, ta có thể đặt thêm một hệ số 2 ra ngoài từ hàng 3 hoặc dùng số 3 ở cột thứ hai làm điểm xoay. Ta chọn cách thứ hai, cộng 4 lần hàng 2 vào hàng 3:

$\det A=2\begin{vmatrix}1&-4&3&4\\0&3&-4&-2\\0&0&-6&2\\0&0&-3&2\\\end{vmatrix}$

Cuối cùng, cộng $-1/2$ lần hàng 3 vào hàng 4, và tính định thức của ma trận tam giác, ta được:

$\det A=2\begin{vmatrix}1&-4&3&4\\0&3&-4&-2\\0&0&-6&2\\0&0&0&1\\\end{vmatrix}=2(1)(3)(-6)(1)=]-36$

Giả sử một ma trận vuông $A$ được đưa về dạng bậc thang $U$ bằng các phép thay thế hàng và hoán đổi hàng. (Điều này luôn có thể thực hiện được. Xem lại thuật toán khử Gauss.) Nếu có $r$ lần hoán đổi, thì theo Định lý 3, ta có:

$\det A=(-1)^{r}\det U$

Vì $U$ ở dạng bậc thang, nó là ma trận tam giác, nên $\det U$ là tích của các phần tử trên đường chéo chính $u_{11}\cdots u_{nn}$ . Nếu $A$ khả nghịch, thì tất cả các $u_{ii}$ đều là phần tử xoay (pivot). Nếu không, ít nhất một phần tử $u_{nn}$ bằng 0, và tích $u_{11}\cdots u_{nn}$ sẽ bằng 0.

Các dạng bậc thang điển hình của ma trận vuông:

$\det U\neq 0$

$U=\begin{bmatrix}\blacksquare&\ast&\ast&\ast\\0&\blacksquare&\ast&\ast\\0&0&\blacksquare&\ast\\0&0&0&\blacksquare\\\end{bmatrix}$

$\det U= 0$

$U=\begin{bmatrix}\blacksquare&\ast&\ast&\ast\\0&\blacksquare&\ast&\ast\\0&0&0&\blacksquare\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}$

Do đó:

$\det A=(-1)^{r}$ (Tích của các phần tử xoay trong $U$ ), khi $A$ khả nghịch
$\det A=0$ khi $A$ không khả nghịch

Điều thú vị là mặc dù dạng bậc thang $U$ ở trên không phải duy nhất (vì nó chưa được rút gọn hoàn toàn), và các phần tử xoay cũng không phải duy nhất, nhưng tích của các phần tử xoay là duy nhất, trừ khi có thể có một dấu trừ.

Công thức trên không chỉ cung cấp một cách hiểu rõ ràng về $\det A$ mà còn chứng minh định lý quan trọng nhất của mục này:

Định Lý 4

Một ma trận vuông  khả nghịch khi và chỉ khi

Định lý 4 bổ sung phát biểu “ $\det A\neq 0$ ” vào Định lý Ma trận Khả Nghịch. Hệ quả quan trọng là $\det A=0$ khi các cột của $A$ phụ thuộc tuyến tính. Tương tự, $\det A=0$ khi các hàng của AA phụ thuộc tuyến tính.

(Các hàng của $A$ chính là các cột của $A^T$ , và nếu các cột của $A^T$ phụ thuộc tuyến tính, thì $A^T$ là ma trận suy biến. Khi $A^T$ suy biến, thì $A$ cũng vậy, theo Định lý Ma trận Khả Nghịch.)

Trong thực tế, ta có thể nhận ra sự phụ thuộc tuyến tính dễ dàng nếu hai cột hoặc hai hàng giống hệt nhau, hoặc nếu một cột hoặc một hàng toàn số 0.

Ví dụ 3: Tính $\det A$ , với

$A=\begin{bmatrix}3&-1&2&-5\\0&5&-3&-6\\-6&7&-7&4\\-5&-8&0&9\\\end{bmatrix}$

Giải: Cộng 2 lần hàng 1 vào hàng 3, ta được:

$\det A=\begin{bmatrix}3&-1&2&-5\\0&5&-3&-6\\0&5&-3&-6\\-5&-8&0&9\\\end{bmatrix}=0$

vì hàng thứ hai và hàng thứ ba của ma trận thứ hai giống nhau.

Ghi chú số học

Hầu hết các chương trình máy tính tính $\det A$ cho một ma trận tổng quát $A$ đều sử dụng phương pháp theo công thức ở trên.
Có thể chứng minh rằng việc tính định thức của một ma trận $n\times n$ bằng cách sử dụng phép biến đổi hàng yêu cầu khoảng ${2n^3}/{3}$ phép toán số học. Bất kỳ máy tính cá nhân hiện đại nào cũng có thể tính định thức của một ma trận $25\times 25$ chỉ trong một phần nhỏ của giây, vì chỉ khoảng 10.000 phép toán là cần thiết.

Máy tính cũng có thể xử lý các ma trận “thưa” (sparse matrices) lớn, với các thuật toán đặc biệt tận dụng sự xuất hiện của nhiều số 0. Tất nhiên, các phần tử bằng 0 cũng giúp tăng tốc độ tính toán bằng tay. Các phép tính trong ví dụ tiếp theo kết hợp sức mạnh của các phép biến đổi hàng, trong đó sử dụng các phần tử bằng 0 để mở rộng theo phần tử phụ.

Ví dụ 4: Tính $\det A$ , với

$A=\begin{bmatrix}0&1&2&-1\\2&5&-7&3\\0&3&6&2\\-2&-5&4&-2\\\end{bmatrix}$ .

Giải: Một cách tốt để bắt đầu là sử dụng số 2 trong cột 1 làm pivot, loại bỏ -2 bên dưới nó. Sau đó, sử dụng khai triển theo phần tử phụ để giảm kích thước của định thức, tiếp theo là một phép thay thế hàng khác. Do đó:

$\det A=\begin{vmatrix}0&1&2&-1\\2&5&-7&3\\0&3&6&2\\0&0&-3&1\\\end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&6&2\\0&-3&1\\\end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix}1&2&-1\\0&0&5\\0&-3&1\\\end{vmatrix}$

Một cách tiếp cận khác là đổi chỗ hàng 2 và hàng 3 để tạo ra một “định thức tam giác.” Hoặc có thể khai triển theo phần tử phụ xuống cột đầu tiên.

$\det A=(-2)(1)\begin{vmatrix}0&5\\-3&1\\\end{vmatrix}=-2(15)=-30$

Ghi chú số học

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 3: Tính Chất Của Định Thức

Lesson Attachments

Ghi chú số học

Để lại một bình luận Hủy