Bài giảng 12: Siêu lập phương (Hypercube)

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Gọi $I_i=\overline{\mathbf{0}\mathbf{e}_i}$ là đoạn thẳng nối từ gốc tọa độ $\mathbf{0}$ đến vectơ cơ sở chuẩn $\mathbf{e}_i$ trong $\mathbb{R}^n$ . Khi đó, với $k$ thỏa mãn $1\leq k\leq n$ , tổng vectơ:

$C^k=I_1+I_2+\cdots+I_k$

được gọi là siêu lập phương $k$ chiều ( $k$ -dimensional hypercube).

Để hình dung cách xây dựng $C^k$ , hãy bắt đầu từ những trường hợp đơn giản: Siêu lập phương $C^1$ là đoạn thẳng $I_1$ . Nếu tịnh tiến $C^1$ theo vectơ $\textbf{e}_2$ , bao lấy hình ban đầu và hình sau khi tịnh tiến bằng bao lồi sẽ tạo thành hình vuông $C^2$ . Xem hình 9. Tịnh tiến $C^2$ theo $\textbf{e}_2$ sẽ tạo thành khối lập phương $C^3$ . Tương tự, tịnh tiến $C^3$ theo vectơ $\textbf{e}_4$ sẽ cho ra siêu lập phương 4 chiều $C^4$ .

Việc hình dung siêu lập phương $C^4$ là khá khó, nhưng hình 10 cho thấy một phép chiếu 2 chiều của $C^4$ . Trong đó: Mỗi cạnh của $C^3$ được “kéo dài” thành một mặt vuông của $C^4$ . Mỗi mặt vuông của $C^3$ được kéo dài thành một mặt lập phương của $C^4$ .

HÌNH 10: Hình chiếu của siêu lập phương $C^4$ lên mặt phẳng $\mathbb{R}^2$ .

Hình 11 minh họa ba mặt của $C^4$ : (a) làm nổi bật khối lập phương xuất phát từ mặt vuông bên trái của $C^3$ , (b) cho thấy khối lập phương từ mặt vuông phía trước của $C^3$ , (c) nhấn mạnh khối lập phương từ mặt vuông phía trên của $C^3$ .

HÌNH 11: Ba mặt lập phương (cubic facets) của $C^4$ .

Hình 12 thể hiện một cách biểu diễn khác của $C^4$ , trong đó khối lập phương được tịnh tiến được đặt “bên trong” $C^3$ . Cách này giúp dễ hình dung hơn các mặt lập phương của $C^4$ vì ít bị biến dạng.

HÌNH 12: Ảnh tịnh tiến của $C^3$ được đặt “bên trong” $C^3$ để tạo thành $C^4$ .

Tổng cộng, khối lập phương 4 chiều $C^4$ có tám mặt lập phương. Hai mặt trong số đó đến từ hình ảnh ban đầu và hình ảnh tịnh tiến của $C^3$ , và sáu mặt còn lại đến từ các mặt vuông của $C^3$ được kéo giãn thành các khối lập phương. Các mặt vuông hai chiều của $C^4$ xuất phát từ các mặt vuông của $C^3$ và hình ảnh tịnh tiến của nó, cũng như từ các cạnh của $C^3$ được kéo giãn thành các hình vuông. Do đó có: $2\times 6+12=24$ mặt vuông. Để đếm số cạnh, lấy số cạnh của $C^3$ nhân 2, rồi cộng với số đỉnh của $C^3$ . Ta được $2\times 12+8=32$ cạnh trong $C^4$ . Các đỉnh trong $C^4$ đều đến từ $C^3$ và hình ảnh tịnh tiến của nó, nên có $2\times 8=16$ đỉnh.

Một trong những kết quả thực sự đáng kinh ngạc trong nghiên cứu về đa diện (polytopes) là công thức sau đây, lần đầu tiên được chứng minh bởi Leonhard Euler (1707–1783). Công thức này thiết lập một mối quan hệ đơn giản giữa số lượng các mặt của các chiều khác nhau trong một đa diện. Để đơn giản hoá cách phát biểu công thức, hãy để $f_k(P)$ là số mặt $k$ – chiều của một đa diện $n$ – chiều $P$ .