Bài giảng 11: Hình đơn (Simplex)

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Một hình đơn là bao lồi của một tập hữu hạn các vectơ độc lập affine. Để xây dựng một hình đơn $k$ chiều (gọi là $k$ -simplex), tiến hành như sau:

0-simplex $S^0$ : một điểm duy nhất $\{\textbf{v}_1\}$
1-simplex $S^1$ : conv $(S^0\cup\{\mathbf{v}_2\})$ , với $\mathbf{v}_2$ không thuộc không gian affine sinh bởi $S^0$
2-simplex $S^2$ : conv $(S^1\cup\{\mathbf{v}_3\})$ , với $\mathbf{v}_3$ không thuộc không gian affine sinh bởi $S^1$
$k$ -simplex $S^k$ : conv $(S^{k-1}\cup\{\mathbf{v}_{k+1}\})$ , với $\mathbf{v}_{k+1}$ không thuộc không gian affine sinh bởi $S^{k-1}$

Simplex $S^1$ là một đoạn thẳng. Tam giác $S^2$ được tạo ra bằng cách chọn một điểm $\mathbf{v}_3$ không nằm trên đường thẳng chứa $S^1$ rồi lấy bao lồi của $S^1$ với $\mathbf{v}_3$ . Xem hình 6. Khối tứ diện $S^3$ được tạo ra bằng cách chọn một điểm $\mathbf{v}_4$ không nằm trong mặt phẳng chứa $S^2$ rồi lấy bao lồi của $S^2$ với $\mathbf{v}_4$ .

Trước khi tiếp tục, hãy xem xét một số quy luật đang xuất hiện. Tam giác $S^2$ có ba cạnh. Mỗi cạnh trong số này là một đoạn thẳng giống như $S^1$ . Vậy ba đoạn thẳng này đến từ đâu? Một trong số đó chính là $S^1$ . Một đoạn khác hình thành bằng cách nối điểm đầu $\mathbf{v}_2$ với điểm mới $\mathbf{v}_3$ . Đoạn thứ ba hình thành bằng cách nối điểm đầu còn lại $\mathbf{v}_1$ với $\mathbf{v}_3$ . Bạn có thể hình dung rằng mỗi điểm đầu của $S^1$ được “kéo dài” thành một đoạn thẳng trong $S^2$ .

Khối tứ diện $S^3$ trong hình 6 có bốn mặt tam giác. Một trong số đó là tam giác ban đầu $S^2$ , và ba mặt còn lại được tạo ra bằng cách kéo dài các cạnh của $S^2$ ra đến điểm mới $\mathbf{v}_4$ . Cũng lưu ý rằng các đỉnh của $S^2$ được “kéo dài” thành các cạnh trong $S^3$ . Các cạnh khác trong $S^3$ thì xuất phát từ các cạnh đã có trong $S^2$ . Điều này gợi ý cách để “hình dung” simplex bốn chiều $S^4$ .

Việc xây dựng $S^4$ , gọi là pentatope, bao gồm việc tạo bao lồi của $S^3$ với một điểm $\mathbf{v}_5$ không nằm trong không gian ba chiều chứa $S^3$ . Tất nhiên, một hình ảnh hoàn chỉnh là điều không thể, nhưng hình 7 mang tính gợi ý: $S^4$ có năm đỉnh, và bất kỳ bốn đỉnh nào trong số đó đều xác định một mặt có dạng một khối tứ diện. Ví dụ, hình vẽ nhấn mạnh mặt có các đỉnh $\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\textbf{v}_4$ và $\mathbf{v}_5$ cùng với mặt có các đỉnh $\textbf{v}_2,\textbf{v}_3,\textbf{v}_4$ và $\mathbf{v}_5$ . Có tổng cộng năm mặt như vậy. Hình 7 cũng xác định tất cả mười cạnh của $S^4$ , và các cạnh này có thể được dùng để hình dung ra mười mặt tam giác.

HÌNH 7: Hình đơn hình 4 chiều $S^4$ được chiếu xuống $\mathbb{R}^2$ , với hai mặt tứ diện được làm nổi bật.

Hình 8 cho thấy một cách biểu diễn khác của simplex bốn chiều $S^4$ . Lần này, đỉnh thứ năm xuất hiện “bên trong” khối tứ diện $S^3$ . Các mặt tứ diện được làm nổi bật cũng dường như “nằm bên trong” $S^3$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 11: Hình đơn (Simplex)

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy