Bài giảng 4: Phụ thuộc afin

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Phần này tiếp tục khám phá mối quan hệ giữa các khái niệm tuyến tính và các khái niệm afin. Trước tiên, hãy xét một tập hợp gồm ba vectơ trong $\mathbb{R}^3$ , giả sử $S={\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3}$ . Nếu $S$ là phụ thuộc tuyến tính, thì một trong các vectơ là một tổ hợp tuyến tính của hai vectơ còn lại. Vậy điều gì xảy ra khi một trong các vectơ là một tổ hợp afin của các vectơ còn lại? Chẳng hạn, giả sử rằng

$\mathbf{v}_3=(1-t)\mathbf{v}_1+t\mathbf{v}_2,\qquad t\in\mathbb{R}.$

Khi đó

$(1-t)\mathbf{v}_1+t\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3=0$ .

Đây là một quan hệ phụ thuộc tuyến tính vì không phải tất cả các hệ số đều bằng 0. Nhưng còn có điều gì đó đặc biệt hơn – tổng các hệ số trong quan hệ phụ thuộc tuyến tính này bằng 0:

$(1-t)+t+(-1)=0$ .

Đây chính là tính chất bổ sung cần thiết để định nghĩa phụ thuộc afin.

ĐỊNH NGHĨA

Một tập hợp có chỉ số các điểm $\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\}$ trong $\mathbb{R}^n$ được gọi là phụ thuộc afin nếu tồn tại các số thực $c_1,\dots,c_p$ , không phải tất cả đều bằng 0, sao cho:

(1) $\begin{equation*}c_1+\cdots+c_p=0,\quad\quad c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_p\mathbf{v}_p=0\end{equation*}$

Ngược lại, tập hợp được gọi là độc lập afin.

Một tổ hợp afin là một dạng đặc biệt của tổ hợp tuyến tính, và phụ thuộc afin là một dạng giới hạn của phụ thuộc tuyến tính. Do đó, mỗi tập hợp phụ thuộc afin thì tự động là tập hợp phụ thuộc tuyến tính.

Một tập chỉ gồm một điểm $\{\mathbf{v}_1\}$ (kể cả vector không) chắc chắn là độc lập afin, bởi vì các điều kiện yêu cầu đối với các hệ số $c_i$ không thể được thỏa mãn khi chỉ có một hệ số duy nhất. Đối với $\{\mathbf{v}_1\}$ , phương trình đầu tiên trong (1) đơn giản là $c_1=0$ , nhưng đồng thời phải có ít nhất một (và trong trường hợp này là duy nhất một) hệ số khác 0 – điều này là không thể.

ĐỊNH LÝ 5

Cho một tập có thứ tự  trong , với , thì các phát biểu sau tương đương về mặt logic. Tức là, hoặc tất cả đều đúng, hoặc tất cả đều sai:
a.	 là phụ thuộc afin.
b.	Một trong các điểm trong  là tổ hợp afin của các điểm còn lại trong .
c.	Tập  trong  là phụ thuộc tuyến tính.
d.	Tập  gồm các dạng thuần nhất trong  là phụ thuộc tuyến tính.

CHỨNG MINH: Giả sử phát biểu (a) đúng, và tồn tại các hệ số $c_1,\dots,c_p$ thỏa mãn điều kiện (1): $c_1+\cdots+c_p=0$ và $c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_p\mathbf{v}_p=0$ . Bằng cách đổi tên các điểm nếu cần thiết, ta có thể giả sử $c_1\neq 0$ và chia cả hai phương trình trong (1) cho $c_1$ , được $1+\frac{c_2}{c_1}+\cdots+\frac{c_p}{c_1}=0$ và

(2) $\begin{equation*}\mathbf{v}_1=\left(-\frac{c_2}{c_1}\right)\mathbf{v}_2+\cdots+\left(-\frac{c_p}{c_1}\right)\mathbf{v}_p\end{equation*}$

Lưu ý rằng các hệ số phía bên phải phương trình trên có tổng bằng 1. Do đó, (a) suy ra (b). Giờ giả sử (b) đúng. Bằng cách đổi tên điểm nếu cần, ta có thể giả sử $\mathbf{v}_1=c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_p\mathbf{v}_p$ , với $c_2+\cdots+c_p=1$ . Khi đó

(3) $\begin{equation*}(c_2+\cdots+c_p)\mathbf{v}_1=c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_p\mathbf{v}_p\end{equation*}$

và

(4) $\begin{equation*}c_2(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1)+\cdots+c_p(\mathbf{v}_p-\mathbf{v}_1)=0\end{equation*}$

Không phải tất cả các hệ số $c_2,\dots,c_p$ đều bằng 0 vì tổng của chúng bằng 1. Do đó, (b) suy ra (c).

Tiếp theo, nếu (c) đúng, thì tồn tại các hệ số $c_2,\dots,c_p$ , không đồng thời bằng 0, sao cho phương trình (4) đúng. Viết lại (4) thành (3), và đặt $c_1=-(c_2+\cdots+c_p)$ . Khi đó $c_1+c_2+\cdots+c_p=0$ . Như vậy, (3) chứng tỏ rằng (1) đúng. Do đó, (c) suy ra (a), và điều này chứng minh rằng (a), (b), và (c) là tương đương về mặt logic. Cuối cùng, phát biểu (d) tương đương với (a) vì hai phương trình trong (1) tương đương với phương trình sau đây liên quan đến các dạng thuần nhất của các điểm trong $S$ :

$c_1\begin{bmatrix}\mathbf{v}_1\\1\end{bmatrix}+\cdots+c_p\begin{bmatrix}\mathbf{v}_p\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{0}\\0\end{bmatrix}$

Trong phát biểu (c) của Định lý 5, $\mathbf{v}_1$ có thể được thay thế bởi bất kỳ điểm nào khác trong danh sách $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p$ . Chỉ có ký hiệu trong chứng minh là thay đổi. Vì vậy, để kiểm tra một tập hợp có phụ thuộc afin hay không, ta chỉ cần chọn một điểm trong tập, trừ điểm đó cho các điểm còn lại, rồi kiểm tra xem tập gồm $p-1$ điểm đã được tịnh tiến này có phụ thuộc tuyến tính hay không.

Ví dụ 1: Vỏ lồi afin của hai điểm phân biệt $\mathbf{p}$ và $\mathbf{q}$ là một đường thẳng. Nếu một điểm thứ ba $\mathbf{r}$ nằm trên đường thẳng đó, thì tập $\{\mathbf{p,q,r}\}$ là một tập phụ thuộc afin. Ngược lại, nếu một điểm $\mathbf{s}$ không nằm trên đường thẳng đi qua $\mathbf{p}$ và $\mathbf{q}$ , thì ba điểm $\mathbf{p,q,s}$ không thẳng hàng, và tập $\{\mathbf{p,q,s}\}$ là một tập độc lập afin. Xem hình 1.

Hình 1: $\{\mathbf{p,q,r}\}$ là tập phụ thuộc afin.

Ví dụ 2: Cho $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\3\\7\end{bmatrix},\,\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}2\\7\\6.5\end{bmatrix},\,\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}0\\4\\7\end{bmatrix}$ và $S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}$ . Xác định xem $S$ có độc lập afin hay không.

Giải: Tính $\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\4\\-.5\end{bmatrix}$ và $\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}$ . Hai vector này không phải là bội số của nhau, nên chúng tạo thành một tập độc lập tuyến tính $S'$ . Do đó, theo Định lý 5, tất cả các mệnh đề liên quan đến phụ thuộc afin là sai, và kết luận rằng $S$ là một tập độc lập afin. Hình 2 minh họa tập $S$ và tập dịch chuyển $S'$ . Lưu ý rằng Span $S'$ là một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ, và aff $S$ là một mặt phẳng song song đi qua $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ và $\mathbf{v}_3$ . (Tất nhiên hình chỉ hiển thị một phần của mỗi mặt phẳng.)

Hình 2: Một tập hợp afin độc lập $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}$

Hình 2: Một tập hợp afin độc lập $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}$

Ví dụ 3: Cho $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\3\\7\end{bmatrix},\,\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}2\\7\\6.5\end{bmatrix},\,\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}0\\4\\7\end{bmatrix}$ và $\mathbf{v}_4=\begin{bmatrix}0\\14\\6\end{bmatrix}$ . và xét tập hợp $S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\}$ . Hỏi $S$ có phụ thuộc afin không?

Giải: Tính các hiệu vector $\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\4\\-.5\end{bmatrix},\,\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}$ và $\mathbf{v}_4-\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}-1\\11\\-1\end{bmatrix}$ . Sau đó, ta đưa các vector này thành các cột của một ma trận và tiến hành khử Gauss (rút gọn hàng):

$\begin{bmatrix}1&-1&-1\\4&1&11\\-.5&0&-1\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&-1&-1\\0&5&15\\0&-.5&-1.5\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&-1&-1\\0&5&15\\0&0&0\\\end{bmatrix}$

Kết quả rút gọn cho thấy các cột là phụ thuộc tuyến tính, vì không phải tất cả các cột đều là cột cơ sở. Theo phát biểu (c) trong định lý 5, điều đó có nghĩa là tập $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\}$ là phụ thuộc afin. Ta cũng có thể kiểm tra điều này bằng cách sử dụng phát biểu (d) trong định lý 5, tức là xem các dạng thuần nhất của các vector có phụ thuộc tuyến tính hay không.

Các phép tính trong ví dụ 3 cho thấy rằng $\mathbf{v}_4-\mathbf{v}_1$ là một tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1$ , tức là $\mathbf{v}_4-\mathbf{v}_1\in\text{Span}\,\{\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1\}$ . Theo định lý 1, điều này có nghĩa là $\mathbf{v}_4\in\text{aff}\,\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}$ , tức là $\mathbf{v}_4$ nằm trong bao afin của $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ và $\mathbf{v}_3$ . Thực hiện khử Gauss hoàn chỉnh trên ma trận trong ví dụ 3 sẽ cho thấy:

(5) $\begin{equation*}\mathbf{v}_4-\mathbf{v}_1=2(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1)+3(\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1)\end{equation*}$

Từ đó suy ra

(6) $\begin{equation*}\mathbf{v}_4=-4\mathbf{v}_1+2\mathbf{v}_2+3\mathbf{v}_3\end{equation*}$

Xem hình 3.

HÌNH 3: $\mathbf{v}_4$ nằm trong mặt phẳng $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}$ .

Hình 3 minh họa các lưới trên cả hai tập hợp: Span $\{\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1\}$ – tức là không gian con tuyến tính sinh bởi hai véc-tơ, và aff $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}$ – tức là bao afin của ba điểm. Lưới trên aff $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}$ được xây dựng dựa theo công thức (5). Một “hệ tọa độ” khác cũng có thể được xây dựng dựa theo công thức (6), trong đó các hệ số $-4,2$ , và $3$ được gọi là tọa độ afin hoặc tọa độ barycentric của $\mathbf{v}_4$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 4: Phụ thuộc afin

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy