Bài giảng 1: Các khối đa diện platon

Vào năm 387 trước Công nguyên tại thành phố Athens, nhà triết học Hy Lạp Plato đã sáng lập ra một Học viện – đôi khi được xem như là trường đại học đầu tiên trên thế giới. Mặc dù chương trình giảng dạy bao gồm thiên văn học, sinh học, lý thuyết chính trị và triết học, nhưng môn học mà ông tâm huyết nhất chính là hình học. Thật vậy, trên cánh cửa của Học viện ông đã khắc dòng chữ: “Ai không biết hình học, xin đừng bước vào đây.”

Người Hy Lạp cổ đại rất say mê với các mô hình hình học, đặc biệt là các khối đa diện đều. Một khối đa diện được gọi là đều nếu tất cả các mặt của nó là các đa giác đều và bằng nhau, đồng thời tất cả các góc tại các đỉnh cũng bằng nhau. Từ khoảng 100 năm trước thời Plato, các nhà Pythagoras đã biết đến ít nhất ba khối đa diện đều: tứ diện (có 4 mặt tam giác), lập phương (có 6 mặt vuông), và bát diện (có 8 mặt tam giác). Xem hình 1. Những hình dạng này xuất hiện tự nhiên dưới dạng các tinh thể của những khoáng vật phổ biến.

Chỉ tồn tại duy nhất năm khối đa diện đều, hai khối còn lại là mười hai diện (có 12 mặt ngũ giác đều) và hai mươi diện (có 20 mặt tam giác đều). Plato đã thảo luận về lý thuyết cơ bản của năm khối này trong tác phẩm đối thoại Timaeus, và từ đó, chúng được gọi là các khối Platonic (Platonic solids).

Trong nhiều thế kỷ, con người không cần nghĩ đến các đối tượng hình học trong không gian hơn ba chiều. Tuy nhiên, ngày nay, các nhà toán học thường xuyên làm việc với các đối tượng trong không gian véctơ có bốn, năm, hoặc thậm chí hàng trăm chiều. Điều này đặt ra câu hỏi: các tính chất hình học nào có thể được gán cho những đối tượng này trong không gian nhiều chiều hơn?

Ví dụ, những tính chất nào của đường thẳng trong không gian hai chiều và mặt phẳng trong không gian ba chiều có thể hữu ích khi mở rộng lên các chiều cao hơn? Làm thế nào để ta có thể đặc trưng hóa những đối tượng như vậy? Các bài giảng tiếp theo sẽ đưa ra một số lời giải cho câu hỏi này. Đặc biệt, siêu mặt phẳng (hyperplane) được đề cập sẽ rất quan trọng để hiểu bản chất nhiều chiều của các bài toán quy hoạch tuyến tính trong phần 9.

Vậy, trong không gian hơn ba chiều, tương tự của một khối đa diện sẽ “trông như thế nào”? Một phần lời giải được đưa ra thông qua các hình chiếu hai chiều của đối tượng bốn chiều, được tạo ra tương tự như cách ta tạo hình chiếu hai chiều từ một vật thể ba chiều. Bài giảng 38 sẽ minh họa ý tưởng này bằng cách trình bày về “lập phương” bốn chiều (4D cube) và “simplex” bốn chiều.

Việc nghiên cứu hình học trong các không gian nhiều chiều không chỉ mở ra những cách mới để hình dung các khái niệm đại số trừu tượng, mà còn tạo ra những công cụ có thể ứng dụng ngay trong không gian .

Hầu hết các ứng dụng trong các chương trước liên quan đến việc tính toán đại số với các không gian con và tổ hợp tuyến tính của các vector. Trong phần này, chúng ta nghiên cứu các tập hợp vector có thể được hình dung như những đối tượng hình học, chẳng hạn như đoạn thẳng, đa giác, hoặc vật thể ba chiều. Mỗi vector được xem như một điểm. Các khái niệm được giới thiệu ở đây được sử dụng trong đồ họa máy tính, quy hoạch tuyến tính (phần 9) và các lĩnh vực toán học khác.

Xuyên suốt phần này, các tập hợp vector đều được mô tả bằng tổ hợp tuyến tính, nhưng có những điều kiện hạn chế khác nhau đối với các hệ số (trọng số) trong tổ hợp. Ví dụ, ở bài giảng 38, tổng các trọng số là 1; còn ở bài giảng 40, các trọng số phải dương và tổng lại bằng 1. Mặc dù các hình minh họa được thể hiện trong hoặc , các khái niệm này vẫn áp dụng được trong và các không gian vector khác.