Bài giảng 2: Tổ hợp afin

Một tổ hợp afin của các vector là một dạng đặc biệt của tổ hợp tuyến tính. Cho các vector (hoặc “điểm”) $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p$ trong $\mathbb{R}^n$ và các hệ số vô hướng $c_1,\ldots,c_p$ , một tổ hợp afin của $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p$ là một tổ hợp tuyến tính:

$c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_p\mathbf{v}_p$

sao cho các hệ số thỏa mãn điều kiện $c_1+\cdots+c_p=1$ .

Định nghĩa

Tập hợp tất cả các tổ hợp afin của các điểm trong một tập  được gọi là bao afin (hoặc miền afin) của , ký hiệu là aff .

Bao afin của một điểm duy nhất $\mathbf{v}_1$ chỉ là tập $\{\mathbf{v}_1\}$ , vì nó có dạng $c_1\mathbf{v}_1$ với $c_1=1$ . Bao afin của hai điểm phân biệt thường được viết theo một cách đặc biệt. Giả sử $\mathbf{y}=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2$ với $c_1+c_2=1$ . Đặt $t=c_2$ , khi đó $c_1=1-c_2=1-t$ . Vậy bao afin của $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}$ là tập:

(1) $\begin{equation*}y=(1-t)\mathbf{v}_1+t\mathbf{v}_2,\qquad t\in\mathbb{R}\end{equation*}$

Tập hợp này bao gồm $\mathbf{v}_1$ (khi $t=0$ ) và $\mathbf{v}_2$ (khi $t=1$ ). Nếu $\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_1$ , thì biểu thức trên lại chỉ mô tả một điểm duy nhất. Ngược lại, biểu thức đó mô tả đường thẳng đi qua $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ . Để thấy điều này, hãy viết lại biểu thức (1) dưới dạng:

$\mathbf{y}=\mathbf{v}_1+t(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1)=\mathbf{p}+t\mathbf{u},\qquad t\in\mathbb{R}$

trong đó $p=\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{u}=\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1$ . Tập hợp tất cả các bội của $\mathbf{u}$ là Span{u}\text{Span} {u}, tức là đường thẳng đi qua $\mathbf{u}$ và gốc tọa độ. Khi cộng thêm $\mathbf{p}$ vào mỗi điểm trên đường thẳng này, ta dịch chuyển $\text{Span}\,{\mathbf{u}}$ thành đường thẳng đi qua $\mathbf{p}$ và song song với đường qua $\mathbf{u}$ và gốc tọa độ. Xem hình 1.

Hình 2 sử dụng các điểm ban đầu $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ , và minh họa aff $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}$ như là đường thẳng đi qua $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ .

Lưu ý rằng, trong khi điểm $\mathbf{y}$ trong hình 2 là một tổ hợp afin của $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ , thì điểm $\mathbf{y}-\mathbf{v}_1$ lại bằng $t(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1)$ , tức là một tổ hợp tuyến tính (thực chất là một bội) của $\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1$ . Mối liên hệ giữa $\mathbf{y}$ và $\mathbf{y}-\mathbf{v}_1$ này đúng với mọi tổ hợp afin của các điểm, như định lý sau đây sẽ chỉ ra.

Định lý 1

Một điểm  là một tổ hợp afin của các điểm  nếu và chỉ nếu  là một tổ hợp tuyến tính của các điểm đã được tịnh tiến .

Chứng minh: Nếu $\mathbf{y}-\mathbf{v}_1$ là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ $\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p-\mathbf{v}_1$ , thì tồn tại các hệ số $c_2,\dots,c_p$ sao cho:

(2) $\begin{equation*}\mathbf{y}-\mathbf{v}_1=c_2(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1)+\cdots+c_p(\mathbf{v}_p-\mathbf{v}_1\end{equation*}$

Khi đó,

(3) $\begin{equation*}y=(1-c_2-\cdots-c_p)\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_p\mathbf{v}_p\end{equation*}$

và tổng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính này bằng 1. Vì thế, $\mathbf{y}$ là một tổ hợp afin của các điểm $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p$ . Ngược lại, giả sử:

(4) $\begin{equation*}\mathbf{y}=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_p\mathbf{v}_p\end{equation*}$

với điều kiện $c_1+\cdots+c_p=1$ . Vì $c_1=1-c_2-\cdots-c_p$ , ta có thể viết lại phương trình trên giống như (3), và từ đó dẫn đến $\mathbf{y}-\mathbf{v}_1=c_2(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1)+\cdots+c_p(\mathbf{v}_p-\mathbf{v}_1)$ , cho thấy rằng $\mathbf{y}-\mathbf{v}_1$ là một tổ hợp tuyến tính của các $\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p-\mathbf{v}_1$ .

Trong phát biểu của định lý 1, điểm $\mathbf{v}_1$ có thể được thay thế bởi bất kỳ điểm nào khác trong danh sách $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p$ ; chỉ có phần ký hiệu trong chứng minh là thay đổi.

Ví dụ 1: Cho các vectơ $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix},\,\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix},\,\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix},\,\mathbf{v}_4=\begin{bmatrix}-2\\2\end{bmatrix},\,$ và $\mathbf{y}=\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}$ . Nếu có thể, hãy viết $\mathbf{y}$ dưới dạng một tổ hợp afin của $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3$ và $\mathbf{v}_4$ .

Giải: Tính các điểm đã dịch chuyển:

$\begin{matrix}\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}&\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}&\mathbf{v}_4-\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}-3\\0\end{bmatrix}&\mathbf{y}-\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}\\\end{matrix}$

Tìm các hệ số $c_2,c_3,c_4$ sao cho

(5) $\begin{equation*}c_2(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1)+c_3(\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1)+c_4(\mathbf{v}_4-\mathbf{v}_1)=\mathbf{y}-\mathbf{v}_1\end{equation*}$

Tạo ma trận mở rộng và biến đổi sơ cấp

$\begin{bmatrix}1&0&-3&3\\3&1&0&-1\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&0&-3&3\\0&1&9&-10\\\end{bmatrix}$

Dễ thấy hệ phương trình có nghiệm tổng quát $c_2=3c_4+3,\,c_3=-9c_4-10$ với $c_4$ tùy ý. Với $c_4=0$ :

$y-\mathbf{v}_1=3(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1)-10(\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1)+0(\mathbf{v}_4-\mathbf{v}_1)$

và

$\mathbf{y}=8\mathbf{v}_1+3\mathbf{v}_2-10\mathbf{v}_3$

Một ví dụ khác, chọn c4=1c_4 = 1. Khi đó $c_2=6$ và $c_3=-19$ , khi đó

$\mathbf{y}-\mathbf{v}_1=6(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1)-19(\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1)+1(\mathbf{v}_4-\mathbf{v}_1)$

Trong khi phương pháp trong ví dụ 1 có thể áp dụng cho bất kỳ điểm nào $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\in\mathbb{R}^n$ , thì câu hỏi có thể được trả lời một cách trực tiếp hơn nếu các điểm được chọn $\mathbf{v}_i$ tạo thành một cơ sở của $\mathbb{R}^n$ . Ví dụ, giả sử $\ss=\{\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_n\}$ là một cơ sở như vậy. Khi đó, bất kỳ $\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$ đều có thể được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_n$ . Tổ hợp tuyến tính đó là tổ hợp afin của các vectơ $\mathbf{b}_i$ nếu và chỉ nếu tổng các hệ số (hay trọng số) bằng 1. (Các hệ số này chính là tọa độ theo cơ sở $\ss$ của $\mathbf{y}$ .)

Ví dụ 2: Cho $\mathbf{b}_1=\begin{bmatrix}4\\0\\3\end{bmatrix},\,\mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}0\\4\\2\end{bmatrix},\,\mathbf{b}_3=\begin{bmatrix}5\\2\\4\end{bmatrix},\,\mathbf{p}_1=\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix},\,$ và $\mathbf{p}_2=\begin{bmatrix}1\\2\\2\end{bmatrix}$ . Tập $\ss=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3\}$ là một cơ sở cho $\mathbb{R}^3$ . Xác định xem các điểm $\mathbf{p}_1$ và $\mathbf{p}_2$ có phải là tổ hợp afin của các điểm trong B hay không.

Giải: Tìm tọa độ $\ss$ của $\mathbf{p}_1$ và $\mathbf{p}_2$ . Hai phép tính này có thể được kết hợp bằng cách rút gọn hàng của ma trận $\begin{bmatrix}\mathbf{b}_1&\mathbf{b}_2&\mathbf{b}_3&\mathbf{p}_1&\mathbf{p}_2\\\end{bmatrix}$ , với hai cột tăng cường:

$\begin{bmatrix}4&0&5&2&1\\0&4&-2&0&2\\3&2&4&0&2\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&0&-2&2/3\\0&1&0&-1&2/3\\0&0&1&2&-1/3\end{bmatrix}$

Đọc cột 4 để xây dựng $\mathbf{p}_1$ , và đọc cột 5 để xây dựng $\mathbf{p}_2$ :

$\mathbf{p}_1=-2\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2+2\mathbf{b}_3$

và

$\mathbf{p}_1=\frac{2}{3}\mathbf{b}_1+\frac{2}{3}\mathbf{b}_2-\frac{1}{3}\mathbf{b}_3$

Tổng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính cho $\mathbf{p}_1$ là $-1$ , không phải $1$ , nên $\mathbf{p}_1$ không phải là tổ hợp afin của các $\mathbf{b}$ . Tuy nhiên, $\mathbf{p}_2$ là tổ hợp afin của các $\mathbf{b}$ , vì tổng các hệ số của $\mathbf{p}_2$ là 1.

ĐỊNH NGHĨA

Một tập hợp  được gọi là afin nếu với mọi  thì  với mọi số thực .

Về mặt hình học, một tập hợp là afin nếu khi hai điểm nằm trong tập, thì toàn bộ đường thẳng đi qua hai điểm đó cũng nằm trong tập. (Nếu $S$ chỉ chứa một điểm $\mathbf{p}$ , thì đường thẳng đi qua $\mathbf{p}$ và $\mathbf{p}$ chỉ là một điểm — một “đường thẳng suy biến”.) Về mặt đại số, để một tập hợp $S$ là afin, định nghĩa yêu cầu rằng mọi tổ hợp afin của hai điểm thuộc $S$ cũng phải thuộc $S$ . Một điều đáng chú ý là điều kiện này tương đương với việc yêu cầu $S$ chứa mọi tổ hợp afin của bất kỳ số lượng điểm nào trong $S$ .

ĐỊNH LÝ 2

Một tập hợp  là afin nếu và chỉ nếu mọi tổ hợp afin của các điểm trong  đều thuộc .
Nói cách khác,  là afin nếu và chỉ nếu .

Chứng minh: Giả sử $S$ là một tập afin và sử dụng phương pháp quy nạp theo số lượng mm điểm của $S$ xuất hiện trong một tổ hợp afin. Khi $m=1$ hoặc $m=2$ , một tổ hợp afin của mm điểm trong $S$ thuộc về $S$ , theo đúng định nghĩa của tập afin. Giờ giả sử rằng mọi tổ hợp afin của $k$ điểm trở xuống trong $S$ đều nằm trong $S$ , và xét tổ hợp afin của $k+1$ điểm. Lấy $\mathbf{v}_i\in S$ với $i=1,\dots,k+1$ , và đặt $\mathbf{y}=c_1\mathbf{v}_1+\dots+c_k\mathbf{v}_k+c_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}$ với $c_1+\dots+c_{k+1}=1$ . Vì tổng các hệ số bằng 1, nên ít nhất một trong các hệ số này phải khác 1. Bằng cách đánh lại chỉ số cho các $\mathbf{v}_i$ và $c_i$ nếu cần, ta có thể giả sử $c_{k+1}\neq 1$ . Đặt $t=c_1+\dots+c_k$ . Khi đó $t=1-c_{k+1}\neq 0$ , và ta viết lại $\mathbf{y}$ như sau:

(6) $\begin{equation*}\mathbf{y}=(1-c_{k+1})\left(\frac{c_1}{t}\mathbf{v}_1+\dots+\frac{c_k}{t}\mathbf{v}_k\right)+c_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}\end{equation*}$

Theo giả thuyết quy nạp, điểm $\mathbf{z}=(c_1/t)\mathbf{v}_1+\dots+({c_k}/t)\mathbf{v}_k$ nằm trong $S$ vì tổng các hệ số bằng 1. Như vậy, $\mathbf{y}$ là tổ hợp afin của hai điểm $\mathbf{z}$ và $\mathbf{v}_{k+1}$ trong $S$ , nên $\mathbf{y}\in S$ . Theo nguyên lý quy nạp, mọi tổ hợp afin của các điểm thuộc $S$ đều nằm trong $S$ . Nói cách khác, $\text{aff}\,S\subseteq S$ . Nhưng chiều ngược lại, $S\subseteq\text{aff}\,S$ , luôn đúng theo định nghĩa. Do đó, nếu $S$ là afin thì $S=\text{aff}\,S$ . Ngược lại, nếu $S=\text{aff}\,S$ , thì mọi tổ hợp afin của hai (hoặc nhiều hơn) điểm trong $S$ đều thuộc $S$ , do đó $S$ là afin.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 2: Tổ hợp afin

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy