Bài giảng 3: Tổ hợp afin (tiếp theo)

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Định nghĩa dưới đây sẽ cung cấp thuật ngữ cho các tập afin, nhấn mạnh mối liên hệ chặt chẽ giữa chúng với các không gian con trong $\mathbb{R}^n$ .

ĐỊNH NGHĨA
•	Một phép tịnh tiến của một tập S⊆RnS \subseteq \mathbb{R}^n bởi một vector  là tập:.
•	Một “flat” (mặt phẳng afin) trong  là một phép tịnh tiến của một không gian con của .
•	Hai mặt phẳng afin (flats) được gọi là song song nếu một trong hai là phép tịnh tiến của cái còn lại.
•	Số chiều của một flat chính là số chiều của không gian con song song với nó.
•	Số chiều của một tập hợp , ký hiệu là , là số chiều của flat nhỏ nhất chứa .
•	Một đường thẳng trong  là một flat có số chiều bằng 1.
•	Một siêu phẳng trong  là một flat có số chiều bằng .

Trong không gian $\mathbb{R}^3$ , các không gian con “proper” (không gian con thực sự, không phải toàn bộ không gian) bao gồm: gốc tọa độ 0, các đường thẳng đi qua gốc, và các mặt phẳng đi qua gốc.

Vì vậy, các mặt phẳng afin “proper” (không nhất thiết đi qua gốc) trong $\mathbb{R}^3$ là: • các điểm (số chiều 0), các đường thẳng (số chiều 1), và các mặt phẳng (số chiều 2). Chúng có thể có hoặc không đi qua gốc tọa độ.

Định lý tiếp theo cho thấy rằng các mô tả hình học của đường thẳng và mặt phẳng trong $\mathbb{R}^3$ (như là phép tịnh tiến của các không gian con) thực sự trùng khớp với mô tả đại số trước đó, tức là các tập hợp tất cả các tổ hợp afin của hai hoặc ba điểm, tương ứng.

ĐỊNH LÝ 3
Một tập hợp  không rỗng là afin nếu và chỉ nếu nó là một flat.

Chú thích: Hãy chú ý đến vai trò quan trọng của các định nghĩa trong chứng minh định lý này. Ví dụ, phần đầu của chứng minh giả sử $S$ là afin và cần chỉ ra rằng $S$ là một flat. Theo định nghĩa, một flat là một phép tịnh tiến của một không gian con. Ta chọn một điểm $\mathbf{p}\in S$ , rồi định nghĩa: $W=S+(-\mathbf{p})$ Khi đó, ta đã “tịnh tiến” $S$ về gốc tọa độ, và $S=W+\mathbf{p}$ . Việc còn lại là chứng minh rằng $W$ là một không gian con, bởi nếu đúng như vậy, thì $S$ sẽ là một tịnh tiến của một không gian con, tức là một flat.

Chứng minh: Giả sử rằng $S$ là một tập hợp afin. Lấy $\mathbf{p}$ là một điểm cố định bất kỳ trong $S$ , và đặt

$W=S+(-\mathbf{p})$ sao cho $S=W+\mathbf{p}$ .

Giả sử rằng $S$ là một tập hợp afin. Lấy $\mathbf{p}$ là một điểm cố định bất kỳ trong $S$ , và đặt $W=S+(-\mathbf{p})$ , sao cho $S=W+\mathbf{p}$ . Để chứng minh $S$ là một flat (mặt phẳng afin), ta chỉ cần chứng minh rằng $W$ là một không gian con của $\mathbb{R}^n$ . Vì $\mathbf{p}\in S$ , nên vector không $\mathbf{0}\in W$ . Để chứng minh rằng $W$ khép kín dưới phép cộng và phép nhân vô hướng, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu $\mathbf{u}_1$ và $\mathbf{u}_2$ là các phần tử của $W$ , thì $\mathbf{u}_1+t\mathbf{u}_2\in W$ với mọi số thực $t$ . Nói cách khác, ta muốn chứng minh rằng $\mathbf{u}_1+t\mathbf{u}_2\in S+(-\mathbf{p})$ . Vì $\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\in W$ , nên tồn tại $\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2\in S$ sao cho

$\mathbf{u}_1=\mathbf{s}_1-\mathbf{p}$ và $\mathbf{u}_2=\mathbf{s}_2-\mathbf{p}$

Suy ra

$\mathbf{u}_1+t\mathbf{u}_2=\mathbf{s}_1-\mathbf{p}+t(\mathbf{s}_2-\mathbf{p})=\mathbf{s}_1+t\mathbf{s}_2-t\mathbf{p}-\mathbf{p}$

Gom nhóm ba hạng tử đầu tiên, ta thấy rằng $\mathbf{s}_1+t\mathbf{s}_2-t\mathbf{p}$ nằm trong $S$ vì các hệ số cộng lại bằng 1 và $S$ là afin. Do đó, $\mathbf{u}_1+t\mathbf{u}_2$ nằm trong $S-\mathbf{p}=W$ . Điều này cho thấy rằng $W$ là một không gian con của $\mathbb{R}^n$ . Vậy nên, $S$ là một flat, vì $S=W+\mathbf{p}$ .

Chiều ngược lại, giả sử rằng $S$ là một flat. Tức là, $S=W+\mathbf{p}$ với một $\mathbf{p}\in\mathbb{R}^n$ và một không gian con $W$ . Để chứng minh $S$ là afin, ta chỉ cần chứng minh rằng với bất kỳ cặp điểm $\mathbf{s}_1$ và $\mathbf{s}_2$ trong $S$ , đường thẳng đi qua $\mathbf{s}_1$ và $\mathbf{s}_2$ nằm hoàn toàn trong $S$ . Theo định nghĩa của $W$ , tồn tại $\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\in W$ sao cho:

$\mathbf{s}_1=\mathbf{u}_1+\mathbf{p},\qquad\mathbf{s}_2=\mathbf{u}_2+\mathbf{p}$

Với mỗi số thực $t$ , ta có

$\begin{matrix}(1-t)\mathbf{s}_1+t\mathbf{s}_2&=(1-t)(\mathbf{u}_1+\mathbf{p})+t(\mathbf{u}_2+\mathbf{p})\\=&(1-t)\mathbf{u}_1+(1-t)\mathbf{p}+t\mathbf{u}_2+t\mathbf{p}\\=&(1-t)\mathbf{u}_1+t\mathbf{u}_2+\mathbf{p}\\\end{matrix}$

Vì $W$ là không gian con, $(1-t)\mathbf{u}_1+t\mathbf{u}_2\in W$ , do đó $(1-t)\mathbf{s}_1+t\mathbf{s}_2\in W+\mathbf{p}=S$ . Vậy nên, $S$ là afin.

Định lý 3 cung cấp một cách nhìn hình học về bao afin của một tập hợp: đó là flat (mặt phẳng, đường thẳng, hoặc điểm) bao gồm tất cả các tổ hợp afin của các điểm trong tập đó. Ví dụ, hình 3 hiển thị các điểm được xét trong ví dụ 2. Mặc dù tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2$ và $\mathbf{b}_3$ là toàn bộ không gian $\mathbb{R}^3$ , thì tập hợp các tổ hợp afin chỉ là mặt phẳng đi qua ba điểm $\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2$ và $\mathbf{b}_3$ . Lưu ý rằng $\mathbf{p}_2$ nằm trong mặt phẳng đi qua $\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2$ và $\mathbf{b}_3$ , trong khi $\mathbf{p}_1$ không nằm trong mặt phẳng đó.

Ví dụ tiếp theo xem xét lại một tập hợp quen thuộc – tập nghiệm của hệ phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ .

Ví dụ 3: Giả sử nghiệm của phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có dạng $\mathbf{x}=x_3\mathbf{u}+\mathbf{p}$ , với $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}2\\-3\\1\end{bmatrix}$ và $\mathbf{p}=\begin{bmatrix}4\\0\\-3\end{bmatrix}$ . Hãy nhớ lại rằng tập nghiệm này song song với tập nghiệm của phương trình $A\mathbf{x}=0$ , tập đó bao gồm tất cả các điểm có dạng $x_3\mathbf{u}$ . Tìm hai điểm $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ sao cho tập nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ bằng $\text{aff}\,\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}$ .

Giải: Tập nghiệm là một đường thẳng đi qua điểm $\mathbf{p}$ theo hướng của vectơ $\mathbf{u}$ , như trong hình 1. Vì $\text{aff}\,\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}$ là đường thẳng đi qua hai điểm $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ , ta sẽ xác định hai điểm thuộc đường thẳng $\mathbf{x}=x_3\mathbf{u}+\mathbf{p}$ . Hai lựa chọn đơn giản là khi $x_3=0$ và $x_3=1$ . Tức là, lấy $\mathbf{v}_1=\mathbf{p}$ và $\mathbf{v}_2=\mathbf{u}+\mathbf{p}$ . Vậy:

$\mathbf{u}_2=\mathbf{u}+\mathbf{p}=\begin{bmatrix}2\\-3\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4\\0\\-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\-3\\-2\end{bmatrix}$

Trong trường hợp này, tập nghiệm được mô tả là tập hợp tất cả các tổ hợp afin có dạng

$\mathbf{x}=(1-x_3)\begin{bmatrix}4\\0\\-3\end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix}6\\-3\\-2\end{bmatrix}$

Trước đó, định lý 1 đã chỉ ra một mối liên hệ quan trọng giữa tổ hợp afin và tổ hợp tuyến tính. Định lý tiếp theo cung cấp một góc nhìn khác về tổ hợp afin, mà trong không gian $\mathbb{R}^2$ và $\mathbb{R}^3$ có mối liên hệ chặt chẽ với các ứng dụng trong đồ họa máy tính.

ĐỊNH NGHĨA

Với , dạng thuần nhất chuẩn của  là điểm .

ĐỊNH LÝ 4

Một điểm  là tổ hợp afin của  nếu và chỉ nếu dạng thuần nhất chuẩn của , tức , thuộc không gian sinh của các dạng thuần nhất chuẩn .

Cụ thể hơn:
 với  nếu và chỉ nếu .

Chứng minh: Điểm $\mathbf{y}\in\text{aff}\,\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\}$ khi và chỉ khi tồn tại các hệ số $c_1,\dots,c_p$ sao cho:

$\begin{bmatrix}\mathbf{y}\\1\end{bmatrix}=c_1\begin{bmatrix}\mathbf{v}_1\\1\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}\mathbf{v}_2\\1\end{bmatrix}+\dots+c_p\begin{bmatrix}\mathbf{v}_p\\1\end{bmatrix}$

Điều này xảy ra nếu và chỉ nếu $\tilde{\mathbf{y}}\in\text{Span}\,\{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2,\dots,\tilde{\mathbf{v}}_p\}$ .

Ví dụ 4: Cho $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}3\;1\;1\end{bmatrix},\,\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}1\;2\;2\end{bmatrix},\,\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}1\;7\;1\end{bmatrix}\,$ và $\mathbf{p}=\begin{bmatrix}4\;3\;0\end{bmatrix}$ . Sử dụng định lý 4 để viết $\mathbf{p}$ như là một tổ hợp afin của $\mathbf{v}_1,\,\mathbf{v}_2$ và $\mathbf{v}_3$ , nếu có thể.

Giải: Ta rút gọn hàng ma trận tăng cường cho phương trình:

$x_1\tilde{\mathbf{v}}_1+x_2\tilde{\mathbf{v}}_2+x_3\tilde{\mathbf{v}}_3=\tilde{\mathbf{p}}$

Để đơn giản hóa phép tính, hãy chuyển hàng thứ tư gồm các số 1 lên đầu (tương đương với ba lần hoán đổi hàng). Sau đó, số lượng phép toán cần thực hiện về cơ bản sẽ giống với số phép toán cần thiết cho phương pháp sử dụng định lý 1.

$\begin{bmatrix}\mathbf{\tilde{v}}_{1}&\mathbf{\tilde{v}}_{2}&\mathbf{\tilde{v}}_{3}&\mathbf{\tilde{p}}\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&1&1&1\\3&1&1&4\\1&2&7&3\\1&2&1&0\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&-2&-2&1\\0&1&6&2\\0&1&0&-1\\\end{bmatrix}$

$\sim\cdots\sim\begin{bmatrix}1&0&0&1.5\\0&1&0&-1\\0&0&1&.5\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}$

Theo Định lý 4, $\mathbf{p}=1.5\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2+.5\mathbf{v}_3$ . Xem hình 4, minh họa mặt phẳng chứa các điểm $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3$ và $\mathbf{p}$ (cùng với các điểm nằm trên các trục tọa độ).

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 3: Tổ hợp afin (tiếp theo)

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy