Bài giảng 4: Phép Biến Đổi Cột

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Chúng ta có thể thực hiện các phép biến đổi trên các cột của một ma trận theo cách tương tự như các phép biến đổi hàng đã xét trước đó. Định lý tiếp theo cho thấy rằng các phép biến đổi cột có ảnh hưởng đến định thức giống như các phép biến đổi hàng.

Chú thích: Nguyên lý quy nạp toán học phát biểu như sau: Giả sử $P(n)$ là một mệnh đề có thể đúng hoặc sai với mỗi số tự nhiên $n$ . Khi đó, $P(n)$ đúng với mọi $n\geq 1$ nếu:

$P(1)$ đúng.
Với mỗi số tự nhiên $k$ , nếu $P(k)$ đúng thì $P(k+1)$ cũng đúng.

Nguyên lý quy nạp toán học sẽ được sử dụng để chứng minh định lý tiếp theo.

Định lý 5

Nếu  là một ma trận , thì:

Chứng minh: Định lý này hiển nhiên đúng với $n=1$ . Giả sử định lý đúng với các định thức $k\times k$ và xét $n=k+1$ . Khi đó, phần tử phụ của $a_{1j}$ trong $A$ bằng phần tử phụ của $a_{1j}$ trong $A^T$ , vì các phần tử phụ này đều liên quan đến các định thức $k\times k$ . Do đó, khai triển định thức theo hàng đầu tiên của $A$ sẽ bằng khai triển định thức theo cột đầu tiên của $A^T$ . Điều này chứng tỏ $A$ và $A^T$ có cùng định thức.

Vì định lý đúng với $n=1$ , và nếu đúng với $n$ thì cũng đúng với $n+1$ , nên theo nguyên lý quy nạp toán học, định lý đúng với mọi $n\geq 1$ .

Do Định lý 5, mỗi phát biểu trong Định lý 3 vẫn đúng khi thay từ “hàng” bằng “cột”. Để kiểm chứng tính chất này, chỉ cần áp dụng Định lý 3 ban đầu cho $A^T$ . Một phép biến đổi hàng trên $A^T$ tương ứng với một phép biến đổi cột trên $A$ .

Các phép biến đổi cột có ích cho cả mục đích lý thuyết lẫn tính toán bằng tay. Tuy nhiên, để đơn giản, chúng ta sẽ chỉ thực hiện các phép biến đổi hàng trong các phép tính số học.

Định Thức và Tích Ma Trận

Chứng minh của định lý hữu ích sau đây sẽ được trình bày ở cuối phần. Các ứng dụng của nó có trong phần bài tập.

Định lý 6 - Tính chất nhân

Nếu  và  là các ma trận , thì:

Ví dụ 5: Xác minh Định lý 6 cho hai ma trận $A=\begin{bmatrix}6&1\\3&2\\\end{bmatrix}$ và $A=\begin{bmatrix}4&3\\1&2\\\end{bmatrix}$ .

Giải:

$AB=\begin{bmatrix}6&1\\3&2\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&3\\1&2\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}25&20\\14&13\\\end{bmatrix}$

và

$\det AB=25(13)-20(14)=325-280=45$

Khi $\det A=9$ và $\det B=5$ ,

$(\det A)(\det B)=9(5)=45=\det AB$

Lưu ý: Một quan niệm sai lầm phổ biến là định lý 6 có một dạng tương tự đối với tổng của hai ma trận. Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp: $\det(A+B)\neq\det A+\det B$ .

Tính Chất Tuyến Tính của Hàm Định Thức

Đối với một ma trận $n\times n$ là $A$ , ta có thể coi $\det A$ như một hàm của nn vector cột trong $A$ . Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu giữ cố định tất cả các cột trừ một cột, thì $\det A$ là một hàm tuyến tính của cột biến thiên đó.

Giả sử cột thứ $j$ của $A$ có thể thay đổi, ta viết:

$A=\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_{j-1}&\mathbf{x}&\mathbf{a}_{j+1}&\cdots&\mathbf{a}_n\\\end{bmatrix}$

Xét phép biến đổi $T$ từ $\mathbb{R}^n$ vào $\mathbb{R}$ được xác định bởi:

$T(x)=\det\begin{bmatrix}\mathbf{a_1}&\cdots&\mathbf{a}_{j-1}&\mathbf{x}&\mathbf{a_{j+1}}&\cdots&\mathbf{a_n}\\\end{bmatrix}$

Khi đó:

(2) $\begin{equation*}T(c\mathbf{x})=cT(\mathbf{x})\end{equation*}$

với mọi số vô hướng $c$ và mọi $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n.$

(3) $\begin{equation*}T(\mathbf{u+v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})\end{equation*}$

với mọi $\mathbf{u,v}\in\mathbb{R}^n$ .

Tính chất (1) là hệ quả trực tiếp của Định lý 3(c) khi áp dụng cho các cột của $A$ . Chứng minh tính chất (2) có thể thực hiện bằng cách khai triển định thức theo cột thứ $j$ .

Tính chất (đa) tuyến tính của định thức này có nhiều hệ quả quan trọng và sẽ được nghiên cứu sâu hơn trong các khóa học nâng cao.

Chứng Minh Định Lý 3 và 6

Việc chứng minh Định lý 3 sẽ thuận tiện hơn khi phát biểu nó dưới dạng các ma trận sơ cấp. Ta gọi ma trận sơ cấp $E$ là:

Thay thế hàng (row replacement): Nếu $E$ thu được từ ma trận đơn vị $I$ bằng cách cộng một bội của một hàng vào một hàng khác.
Hoán vị hàng (interchange): Nếu $E$ thu được bằng cách hoán vị hai hàng của $I$ .
Nhân một hàng với $r$ (scale by $r$ ): Nếu $E$ thu được bằng cách nhân một hàng của $I$ với một số vô hướng khác 0, $r$ .

Với cách gọi này, Định lý 3 có thể được phát biểu lại như sau:

Nếu $A$ là ma trận $n\times n$ và $E$ là ma trận sơ cấp $n\times n$ , thì $\det EA=(\det E)(\det A)$

trong đó:

$\det E=1$ nếu $E$ là thay thế hàng
$\det E=-1$ nếu $E$ là hoán vị hàng
$\det E=r$ nếu $E$ là phép nhân một hàng với $r$ .

Chứng Minh Định Lý 3

Chứng minh được thực hiện bằng quy nạp theo kích thước của $A$ .

Trường hợp cơ sở: Với ma trận $2\times 2$ , định lý đã được xác minh trong bài trước.
Bước quy nạp: Giả sử định lý đúng với mọi ma trận $k\times k$ với $k\geq 2$ . Xét ma trận $n\times n$ với $n=k+1$ .

Khi $E$ tác động lên $A$ , nó chỉ ảnh hưởng đến một hoặc hai hàng của $A$ . Do đó, ta có thể khai triển định thức $\det EA$ theo một hàng không thay đổi bởi $E$ , giả sử là hàng $i$ .

Gọi $A_{ij}$ và $B_{ij}$ lần lượt là các ma trận thu được bằng cách xóa hàng ii và cột $j$ khỏi $A$ và $EA$ . Khi đó, các hàng của $B_{ij}$ được tạo ra từ các hàng của $A_{ij}$ bằng cùng một phép biến đổi sơ cấp mà $E$ áp dụng lên $A$ . Vì các ma trận con này có kích thước $k\times k$ , giả thiết quy nạp cho phép ta kết luận:

$\det B_{ij}=\alpha\det A_{ij}$

với $\alpha=1,-1$ hoặc $r$ , tùy thuộc vào bản chất của $E$ .

Khai triển định thức theo hàng $i$

$\det(EA)=a_{i1}(-1)^{i+1}\det B_{i1}+\dots+a_{in}(-1)^{i+n}\det B_{in}$

$=\alpha a_{i1}(-1)^{i+1}\det A_{i1}+\dots+a_{in}(-1)^{i+n}\det A_{in}\\=\alpha\det A$

Đặc biệt, nếu chọn $A=I_n$ , ta có $\det E=1,-1$ , hoặc $r$ , tùy theo dạng của $E$ . Vì vậy, định lý đúng với $n=2$ và đúng với $n$ suy ra đúng với $n+1$ , theo nguyên lý quy nạp, định lý đúng với mọi $n\geq 2$ . Định lý này hiển nhiên đúng với $n=1$ .

Chứng Minh Định Lý 6

Nếu $A$ không khả nghịch, thì $AB$ cũng không khả nghịch. Khi đó, ta có $\det AB=(\det A)(\det B)$ , vì cả hai vế đều bằng 0.

Nếu $A$ khả nghịch, thì theo Định lý Ma trận Khả nghịch, $A$ tương đương hàng với ma trận đơn vị $I_n$ . Nghĩa là, tồn tại các ma trận sơ cấp $E_1,\dots,E_p$ sao cho: