Bài giảng 5: Tọa độ barycentric (tọa độ tỉ cự)

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Định nghĩa tọa độ barycentric phụ thuộc vào phiên bản afin của Định lý Biểu diễn Duy nhất.

ĐỊNH LÝ 6

Cho $S=\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_k\}$ là một tập hợp affinely độc lập trong $\mathbb{R}^{n}$ . Khi đó, mỗi điểm $\mathbf{p}$ trong aff  $S$ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp afin của $\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_k$ . Tức là, với mỗi $\mathbf{p}$ , tồn tại một bộ hệ số duy nhất $c_1,...,c_k$ sao cho

(7) $\begin{equation*}\mathbf{p}=c_1\mathbf{v}_1+...+c_k\mathbf{v}_k,\quad c_1+...+c_k=1\end{equation*}$

ĐỊNH NGHĨA

Cho  là một tập affinely độc lập. Khi đó, với mỗi điểm  trong aff , các hệ số  trong biểu diễn duy nhất (7) của  được gọi là các tọa độ barycentric (hoặc đôi khi gọi là afin) của .

Lưu ý rằng (7) tương đương với phương trình duy nhất:

(8) $\begin{equation*}\begin{bmatrix}\mathbf{p}\\1\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}\mathbf{v_{1}}\\1\end{bmatrix}+\cdots+c_{k}\begin{bmatrix}\mathbf{v_{k}}\\1\end{bmatrix}\end{equation*}$

liên quan đến dạng thuần nhất của các điểm. Khử Gauss ma trận mở rộng $\begin{bmatrix}\tilde{\mathbf{v}}_{1}&\cdots&\tilde{\mathbf{v}}_{k}&\tilde{\mathbf{p}}\\\end{bmatrix}$ cho (8) sẽ cho ra các tọa độ barycentric của $\mathbf{p}$ .

Ví dụ 4: Gọi $\mathbf{a}=\begin{bmatrix}1\\7\end{bmatrix},\mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix},\mathbf{c}=\begin{bmatrix}9\\3\end{bmatrix}$ và $\mathbf{p}=\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}$ . Tìm tọa độ barycentric của $\mathbf{p}$ xác định bởi tập affinely độc lập $\{\mathbf{a,b,c}\}$ .

Giải: Khử Gauss ma trận mở rộng của các điểm ở dạng thuần nhất, đưa hàng cuối cùng (các số 1) lên đầu để đơn giản hóa phép tính:

$\begin{bmatrix}\tilde{\mathbf{a}}&\tilde{\mathbf{b}}&\tilde{\mathbf{c}}&\tilde{\mathbf{p}}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&3&9&5\\7&0&3&3\\1&1&1&1\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&3&9&5\\7&0&3&3\\\end{bmatrix}$

$\sim\begin{bmatrix}1&0&0&\frac{1}{4}\\0&1&0&\frac{1}{3}\\0&0&1&\frac{5}{12}\\\end{bmatrix}$

Tọa độ barycentric là $\frac{1}{4},\,\frac{1}{3}$ và $\frac{5}{12}$ , vậy $\mathbf{p}=\frac{1}{4}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}+\frac{5}{12}\mathbf{c}$ .

Tọa độ barycentric có cả ý nghĩa vật lý và hình học. Chúng được định nghĩa lần đầu tiên bởi A. F. Moebius vào năm 1827 cho một điểm $\mathbf{p}$ nằm bên trong một vùng tam giác với các đỉnh là $\mathbf{a,b}$ và $\mathbf{c}$ . Ông viết rằng tọa độ barycentric của $\mathbf{p}$ là ba số không âm $m_\mathbf{a},m_\mathbf{b}$ và $m_\mathbf{c}$ sao cho $\mathbf{p}$ là tâm khối lượng của một hệ thống bao gồm tam giác (không có khối lượng) và các khối lượng $m_\mathbf{a},m_\mathbf{b}$ và $m_\mathbf{c}$ đặt tại các đỉnh tương ứng. Các khối lượng này được xác định một cách duy nhất bằng cách yêu cầu tổng của chúng bằng 1. Cách nhìn này vẫn còn hữu ích trong vật lý ngày nay.

Hình 4 đưa ra một cách hiểu hình học cho tọa độ barycentric trong ví dụ 4, minh họa tam giác $\Delta\mathbf{abc}$ và ba tam giác nhỏ $\Delta\mathbf{pbc},\Delta\mathbf{apc}$ , và $\Delta\mathbf{abp}$ . Diện tích của các tam giác nhỏ này tỷ lệ với tọa độ barycentric của điểm $\mathbf{p}$ . Thực tế,

Hình 4: $\mathbf{p}=r\mathbf{a}+s\mathbf{b}+t\mathbf{c}$ . Ở đây, $r=\frac{1}{4},\,s=\frac{1}{3},\,t=\frac{5}{12}$ .

Hình 4: $\mathbf{p}=r\mathbf{a}+s\mathbf{b}+t\mathbf{c}$ . Ở đây, $r=\frac{1}{4},\,s=\frac{1}{3},\,t=\frac{5}{12}$ .

Khi một điểm không nằm bên trong tam giác (hoặc tứ diện), một số tọa độ barycentric của nó sẽ âm. Trường hợp của tam giác được minh họa trong hình 5, với các đỉnh $\mathbf{a,b,c}$ , và các giá trị tọa độ $r,s,t$ như đã nêu ở trên. Ví dụ, các điểm nằm trên đường thẳng đi qua $\mathbf{b}$ và $\mathbf{c}$ có $r=0$ vì chúng là các tổ hợp afin chỉ của $\mathbf{b}$ và $\mathbf{c}$ . Đường thẳng song song đi qua $\mathbf{a}$ xác định các điểm có $r=1$ .