Bài giảng 8: Siêu phẳng (Hyperplanes)

Siêu phẳng đóng một vai trò đặc biệt trong hình học của không gian $\mathbb{R}^n$ , bởi vì chúng chia không gian thành hai phần rời nhau, giống như một mặt phẳng chia $\mathbb{R}^3$ thành hai phần, hoặc một đường thẳng cắt $\mathbb{R}^2$ thành hai nửa. Điểm then chốt khi làm việc với siêu phẳng là sử dụng mô tả ẩn đơn giản, thay vì các biểu diễn tường minh hay tham số như đã dùng trước đó với các tập afin như đường thẳng hoặc mặt phẳng.

Một phương trình ẩn của một đường thẳng trong $\mathbb{R}^2$ có dạng $ax+by=d$ . Một phương trình ẩn của một mặt phẳng trong $\mathbb{R}^3$ có dạng $ax+by+cz=d$ . Cả hai phương trình trên mô tả đường thẳng hoặc mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm mà tại đó một biểu thức tuyến tính (còn gọi là hàm tuyến tính, hay linear functional) đạt giá trị cố định $d$ .

Định nghĩa

Một hàm tuyến tính (linear functional) trên không gian  là một biến đổi tuyến tính  từ  vào . Với mỗi số thực , ký hiệu  biểu thị tập hợp tất cả các vector  sao cho: .
Tức là:


Hàm tuyến tính bằng không là biến đổi  sao cho  với mọi . Mọi hàm tuyến tính khác với hàm không đều được gọi là hàm tuyến tính khác không.

Ví dụ 1: Trong không gian $\mathbb{R}^2$ , đường thẳng $x-4y=13$ là một siêu phẳng trong $\mathbb{R}^2$ . Đây là tập hợp các điểm tại đó hàm tuyến tính $f(x,y)=x-4y$ đạt giá trị bằng 13. Nói cách khác, đường thẳng đó chính là tập hợp $[f:13]$ .

Ví dụ 2: Trong không gian $\mathbb{R}^3$ , mặt phẳng $5x-2y+3z=21$ là một siêu phẳng – tức là tập hợp các điểm mà tại đó hàm tuyến tính $g(x,y,z)=5x-2y+3z$ có giá trị bằng 21. Siêu phẳng này là tập hợp $[g:21]$ .

Nếu $f$ là một hàm tuyến tính trên $\mathbb{R}^n$ , thì ma trận chuẩn của biến đổi tuyến tính này là một ma trận hàng kích thước $1\times n$ , giả sử $A=\begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\\\end{bmatrix}$ . Do đó:

(1) $\begin{equation*}[f:0]=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:A\mathbf{x}=0\}=\text{Nul}\,A\end{equation*}$

Nếu $f$ là một hàm tuyến tính khác 0, thì rank $A=1$ , nên theo dịnh lý hạng, dim⁡ Nul $A=n-1$ . Vì vậy, không gian con $[f:0]$ có số chiều là $n-1$ , nên nó là một siêu phẳng. Ngoài ra, nếu $d\in\mathbb{R}$ , thì:

(2) $\begin{equation*}[f:d]=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:A\mathbf{x}=d\}\end{equation*}$

Nhắc lại từ dịnh lý 6: Tập nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ được tạo thành bằng cách tịnh tiến tập nghiệm của $A\mathbf{x}=0$ , sử dụng một nghiệm cụ thể $\mathbf{p}$ của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ . Khi $A$ là ma trận chuẩn của biến đổi tuyến tính $f$ , thì định lý nói rằng:

(3) $\begin{equation*}[f:d]=[f:0]+\mathbf{p},\quad\forall\mathbf{p}\in[f:d]\end{equation*}$

Vì vậy, các tập $[f:d]$ là các siêu phẳng song song với $[f:0]$ . Xem hình 1.

Khi $A$ là ma trận hàng kích thước $1\times n$ , phương trình $A\mathbf{x}=d$ có thể được viết lại dưới dạng tích vô hướng $\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}$ , với $\mathbf{n}\in\mathbb{R}^n$ là vector có các thành phần giống với hàng của ma trận $A$ . Do đó, từ (2), ta có:

(4) $\begin{equation*}[f:d]=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}=d\}\end{equation*}$

Khi đó, $[f:0]=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}=0\}$ . Điều này cho thấy rằng $[f:0]$ là trực giao bù của không gian con được sinh bởi vector $\mathbf{n}$ . Trong ngôn ngữ của giải tích và hình học đối với v, $\mathbf{n}$ được gọi là vector pháp tuyến (normal vector) của siêu phẳng $[f:0]$ . (Lưu ý: vector “pháp tuyến” trong ngữ cảnh này không nhất thiết phải là vector đơn vị.) Tương tự, $\mathbf{n}$ cũng được gọi là vector pháp tuyến của mọi siêu phẳng song song $[f:d]$ , dù rằng $\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}\ne 0$ khi $d\ne 0$ .

Ngoài ra, một tên gọi khác của tập $[f:d]$ là tập mức của hàm $f$ , và $\mathbf{n}$ đôi khi cũng được gọi là gradient của $f$ khi $f(\mathbf{x})=\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}$ với mọi $\mathbf{x}$ .

Ví dụ 3: Cho $\mathbf{n}=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}$ và $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\-6\end{bmatrix}$ , và đặt $H=\{\mathbf{x}:\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}=12\}$ , nên $H=[f:12]$ , trong đó $f(x,y)=3x+4y$ . Như vậy, $H$ là đường thẳng $3x+4y=12$ . Hãy tìm biểu thức ẩn của siêu phẳng (đường thẳng) song song $H_1=H+\mathbf{v}$ .

Lời Giải: Trước tiên, ta tìm một điểm $\mathbf{p}$ thuộc $H$ . Để làm điều này, tìm một điểm thuộc $H$ , rồi cộng thêm $\mathbf{v}$ vào. Ví dụ, $\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$ thuộc $H$ , nên $\mathbf{p}=\begin{bmatrix}1\\-6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-3\end{bmatrix}$ thuộc $H_1$ . Bây giờ, tính $\mathbf{n}\cdot\mathbf{p}=-9$ . Điều này cho thấy $H_1=[f:-9]$ . Xem hình 2, trong đó cũng có hiển thị không gian con $H_0=\{\mathbf{x}:\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}=0\}$ .

Ba ví dụ tiếp theo sẽ cho thấy mối liên hệ giữa dạng ẩn và dạng tường minh của siêu phẳng. Ví dụ 4 bắt đầu với dạng ẩn.

Ví dụ 4: Trong $\mathbb{R}^2$ , hãy biểu diễn tường minh (dưới dạng tham số vectơ) của đường thẳng $x-4y=13$ .

Giải: Điều này tương đương với việc giải phương trình không thuần nhất $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ , trong đó $A=\begin{bmatrix}1&4\\\end{bmatrix}$ và $\mathbf{b}=13\in\mathbb{R}$ . Viết lại: $x=13+4y$ , trong đó $y$ là biến tự do. Ở dạng tham số, nghiệm có thể viết là:

$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}13+4y\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}13\\0\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}=\mathbf{p}+y\mathbf{q},\quad y\in\mathbb{R}$

Chuyển một biểu diễn tường minh của đường thẳng sang dạng ẩn thì phức tạp hơn. Ý tưởng cơ bản là xây dựng $[f:0]$ , sau đó tìm $d$ để xác định $[f:d]$ .

Ví dụ 5: Cho $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ và $\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}6\\0\end{bmatrix}$ , và gọi $L_1$ là đường thẳng đi qua $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ . Hãy tìm một hàm tuyến tính $f$ và một hằng số $d$ sao cho $L_1=[f:d]$ .

Đường thẳng $L_1$ song song với đường thẳng tịnh tiến $L_0$ , là đường đi qua vectơ $\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1$ và gốc tọa độ. Phương trình xác định $L_0$ có dạng:

(5) $\begin{equation*}\begin{bmatrix}a&b\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=0\quad\text{hay}\quad\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}=0,\qquad\mathbf{n}=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\end{equation*}$

Vì $\mathbf{n}$ vuông góc với không gian con $L_0$ , vốn chứa vectơ $\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1$ , ta tính:

$\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}6\\0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\-2\end{bmatrix}$

Và giải

$\begin{bmatrix}a&b\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5\\-2\end{bmatrix}=0$

Nhẩm nghiệm, một lời giải là $\begin{bmatrix}a&b\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&5\\\end{bmatrix}$ . Vậy, đặt $f(x,y)=2x+5y$ . Từ phương trình (5), $L_0=[f:0]$ , và $L_1=[f:d]$ với một số $d$ nào đó. Vì $\mathbf{v}_1$ nằm trên $L_1$ , nên: $d=f(\mathbf{v}_1)=2(1)+5(2)=12$ . Vậy phương trình của $L_1$ là $2x+5y=12$ . Kiểm tra lại, ta thấy $f(\mathbf{v}_2)=f(6,0)=2(6)+5(0)=12$ . Nên $\mathbf{v}_2$ cũng thuộc $L_1$ , khẳng định kết quả là đúng.

Ví dụ 6: Cho $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ , $\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}2\\-1\\4\end{bmatrix}$ , và $\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}3\\1\\2\end{bmatrix}$ . Tìm một mô tả ẩn $[f:d]$ của mặt phẳng $H_1$ đi qua $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ và $\mathbf{v}_3$ .

Giải: $H_1$ song song với mặt phẳng $H_0$ đi qua gốc tọa độ và chứa các điểm tịnh tiến:

$\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\-2\\3\end{bmatrix},\qquad\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}2\\0\\1\end{bmatrix}$

Vì hai điểm này tuyến tính độc lập nên $H=\text{Span}\,\{\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1\}$ . Gọi $\mathbf{n}=\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}$ là véc-tơ pháp tuyến của $H_0$ . Khi đó $\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1$ đều vuông góc với $\mathbf{n}$ . Tức là $(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1)\cdot\mathbf{n}=0$ và $(\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1)\cdot\mathbf{n}=0$ . Hai phương trình này tạo thành một hệ có ma trận bổ sung sau:

$\begin{bmatrix}1&-2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=0,\quad\begin{bmatrix}2&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=0,\quad\begin{bmatrix}1&-2&3&0\\2&0&1&0\end{bmatrix}$

Phép biến đổi hàng cho $a=(\frac{-2}{4})c,\,b=(\frac{5}{4})c$ , với $c$ là biến tự do. Chọn $c=4$ , chẳng hạn. Khi đó $\mathbf{n}=\begin{bmatrix}-2\\5\\4\end{bmatrix}$ , và $H_0=[f:0]$ , với $f(\mathbf{x})=-2x_1+5x_2+4x_3$ .

Mặt phẳng song song $H_1$ là $[f:d]$ . Để tìm $d$ , sử dụng việc $\mathbf{v}_1\in H_1$ , và tính $d=f(\mathbf{v}_1)=f(1,1,1)=-2(1)+5(1)+4(1)=7$ . Để kiểm tra, tính $f(\mathbf{v}_2)=f(2,-1,4)=-2(2)+5(-1)+4(4)=-4-5+16=7$ . Quan sát ta cũng thấy $f(\mathbf{v}_3)=7$ cũng đúng.

Quy trình trong ví dụ 6 có thể được tổng quát hóa cho không gian nhiều chiều hơn. Tuy nhiên, trong trường hợp đặc biệt của $\mathbb{R}^3$ , ta cũng có thể sử dụng công thức tích có hướng để tính vector pháp tuyến $\mathbf{n}$ bằng cách dùng một định thức biểu diễn tượng trưng như một mẹo ghi nhớ:

$\mathbf{n}=(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1)\times(\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1)$

$\begin{matrix}=&\begin{vmatrix}1&2&\mathbf{i}\\-2&0&\mathbf{j}\\3&1&\mathbf{k}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-2&0\\3&1\\\end{vmatrix}\mathbf{i}-\begin{vmatrix}1&2\\3&1\\\end{vmatrix}\mathbf{j}+\begin{vmatrix}1&2\\-2&0\\\end{vmatrix}\mathbf{k}\\=&-2\mathbf{i}+5\mathbf{j}+4\mathbf{k}=\begin{bmatrix}-2\\5\\4\end{bmatrix}\\\end{matrix}$

Nếu chỉ cần tìm công thức cho $f$ , thì việc tính tích có hướng có thể được trình bày như một định thức thông thường:

$\begin{matrix}f(x_1,x_2,x_3)=&\begin{vmatrix}1&2&x_1\\-2&0&x_2\\1&2&x_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-2&0\\3&1\\\end{vmatrix}x_1-\begin{vmatrix}1&2\\3&1\\\end{vmatrix}x_2+\begin{vmatrix}1&2\\-2&0\\\end{vmatrix}x_3\\\\&=(-2x_1)+5x_2+4x_3\\\end{matrix}$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 8: Siêu phẳng (Hyperplanes)

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy