Bài giảng 9: Siêu phẳng (tiếp theo)

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Từ trước đến nay, mọi siêu phẳng (hyperplane) được xét đều được mô tả dưới dạng $[f:d]$ với một hàm tuyến tính $f$ và một số thực $d$ , hoặc tương đương là tập hợp các điểm $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$ sao cho $\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}=d$ với một vector $\mathbf{n}\in\mathbb{R}^n$ . Định lý sau đây cho thấy rằng mọi siêu phẳng đều có thể được mô tả theo hai cách tương đương này.

Định lý 11

Một tập con  của  là một siêu phẳng nếu và chỉ nếu  với một hàm tuyến tính  không bằng không và một số thực .
Nói cách khác, nếu  là một siêu phẳng, thì tồn tại một vectơ  và một số thực  sao cho:

Chứng minh: Giả sử rằng $H$ là một siêu phẳng. Lấy một điểm $\mathbf{p}\in H$ , và đặt $H_0=H-\mathbf{p}$ . Khi đó $H_0$ là một không gian con có chiều $n-1$ . Tiếp theo, chọn một điểm yy không thuộc $H_0$ . Theo Định lý Phân rã Vuông góc, ta có thể viết:

$\mathbf{y}=\mathbf{y}_1+\mathbf{n}$

trong đó $\mathbf{y}_1$ là một vectơ thuộc $H_0$ , và $\mathbf{n}$ là một vectơ trực giao với mọi vectơ trong $H_0$ . Hàm số $f$ được định nghĩa bởi

$f(\mathbf{x})=\mathbf{n\cdot x},\qquad\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{2}$

là một hàm tuyến tính (hay hàm tuyến tính theo kiểu vô hướng) do tính chất của tích vô hướng. Tập hợp $[f:0]$ là một siêu phẳng chứa $H_0$ , vì $\mathbf{n}$ được xây dựng sao cho vuông góc với toàn bộ $H_0$ . Do đó:

$H_0=[f:0]$

(Lập luận): $H_0$ chứa một cơ sở $S$ gồm $n-1$ vectơ. Vì $S\subset[f:0]$ , và $[f:0]$ cũng là một không gian con có chiều $n-1$ , nên theo Định lý Cơ sở, $S$ là cơ sở của cả $H_0$ và $[f:0]$ , suy ra hai không gian con là bằng nhau. Cuối cùng, đặt $d=f(\mathbf{p})=\mathbf{n\cdot p}$ . Khi đó, như đã chứng minh ở bước (3) trước đó,

$[f:d]=[f:0]+\mathbf{p}=H_0+\mathbf{p}=H$

Điều này chứng minh nửa thứ nhất của định lý: mọi siêu phẳng đều có thể được mô tả dưới dạng $[f:d]$ . Chiều ngược lại – rằng $[f:d]$ là một siêu phẳng – thì hiển nhiên từ định nghĩa và các bước trước đó: vì nó là phép tịnh tiến của $[f:0]$ , một không gian con có chiều $n-1$ , nên $[f:d]$ cũng là một siêu phẳng. $H$ là siêu phẳng $\Leftrightarrow H=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:\mathbf{n\cdot x}=d\}$ với $\mathbf{n}\neq 0$ .

Nhiều ứng dụng quan trọng của siêu phẳng dựa trên khả năng “phân tách” hai tập hợp bằng một siêu phẳng. Trực giác mà nói, điều này có nghĩa là một tập hợp nằm ở một phía của siêu phẳng, còn tập kia nằm ở phía đối diện. Để diễn đạt ý tưởng này một cách chính xác hơn, chúng ta cần một số thuật ngữ và ký hiệu sau đây.

TOPOLOGY TRONG $\mathbb{R}^n$ : CÁC KHÁI NIỆM VÀ SỰ THẬT

Với một điểm $\mathbf{p}$ trong không gian $\mathbb{R}^n$ và một số thực $\delta>0$ , hình cầu mở tâm $\mathbf{p}$ , bán kính $\delta$ được định nghĩa là:

$B(\mathbf{p},\delta)=\{\mathbf{x}:\|\mathbf{x}-\mathbf{p}\|<\delta\}$

Một điểm $\mathbf{p}$ được gọi là điểm trong của một tập $S\subseteq\mathbb{R}^n$ nếu tồn tại một $\delta>0$ sao cho toàn bộ hình cầu mở $B(\mathbf{p},\delta)$ nằm hoàn toàn bên trong tập $S$ . Nếu mọi hình cầu mở có tâm tại $\mathbf{p}$ đều giao với cả tập $S$ và phần bù của $S$ , thì $\mathbf{p}$ được gọi là điểm biên của $S$ . Một tập được gọi là tập mở nếu nó không chứa bất kỳ điểm biên nào. (Tức là tất cả các điểm trong tập đều là điểm trong.) Một tập được gọi là tập đóng nếu nó chứa tất cả các điểm biên của nó. Nếu một tập chứa một vài điểm biên nhưng không phải tất cả, thì tập đó không phải là mở cũng không phải là đóng. Một tập $S$ được gọi là bị chặn nếu tồn tại một số $\delta>0$ sao cho $S\subseteq B(0,\delta)$ , tức là mọi điểm trong $S$ đều nằm trong một hình cầu có tâm tại gốc tọa độ và bán kính $\delta$ . Một tập trong $\mathbb{R}^n$ được gọi là compact (tức là “đóng và bị chặn”) nếu nó vừa là tập đóng, vừa bị chặn.

Định lý: Bao lồi của một tập mở là mở. Bao lồi của một tập compact là compact. Tuy nhiên, bao lồi của một tập đóng thì không nhất thiết phải đóng.

Ví dụ 7: Gọi

$S=\text{conv}\left\{\begin{bmatrix}-2\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-2\\-2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\-2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}\right\},\quad\mathbf{p}_{1}=\begin{bmatrix}-1\\0\end{bmatrix},\quad\mathbf{p}_{2}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$

Như biểu diễn trong hình 3:

Hình 3: Tập hợp $S$ là đóng và bị chặn

Điểm $\mathbf{p}_1$ là một điểm trong của tập $S$ , bởi vì tồn tại một hình cầu mở $B(\mathbf{p}_1,\frac{3}{4})\subseteq S$ . (Nói cách khác, có một khoảng không gian xung quanh $\mathbf{p}_1$ hoàn toàn nằm trong $S$ .) Điểm $\mathbf{p}_2$ là một điểm biên, bởi vì bất kỳ hình cầu mở nào có tâm tại $\mathbf{p}_2$ cũng đều cắt qua cả phần bên trong tập $S$ và phần bên ngoài tập $S$ . Tập $S$ là tập đóng, vì nó chứa tất cả các điểm biên của nó. Tập $S$ là tập bị chặn, vì nó nằm gọn trong hình cầu $B(\mathbf{0},3)$ (tức là trong bán kính 3 từ gốc tọa độ). Do đó, $S$ là một tập compact (vì vừa đóng vừa bị chặn).

Ký hiệu: Nếu $f$ là một hàm tuyến tính, thì biểu thức: $f(A)\leq d$ nghĩa là $f(\mathbf{x})\leq d,\quad\forall\mathbf{x}\in A$ . Những ký hiệu tương tự cũng được sử dụng khi dấu bất đẳng thức đảo lại hoặc khi là bất đẳng thức chặt.

Định nghĩa

Siêu phẳng  được gọi là phân tách hai tập  và  nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
(i)  và ,
hoặc
(ii)  và 
Nếu trong hai điều kiện trên, tất cả các bất đẳng thức không còn là "nhỏ hơn hoặc bằng" hay "lớn hơn hoặc bằng" mà thay bằng bất đẳng thức chặt (tức là < và >), thì siêu phẳng  được gọi là phân tách chặt hai tập  và .

Lưu ý: Phân tách chặt yêu cầu hai tập phải rời nhau (không giao nhau). Trong khi đó, nếu chỉ yêu cầu phân tách thông thường (không chặt), thì hai tập có thể giao nhau.

Phân tách chặt yêu cầu hai tập phải rời nhau (không giao nhau). Trong khi đó, nếu chỉ yêu cầu phân tách thông thường (không chặt), thì hai tập có thể giao nhau. Ví dụ: Nếu hai đường tròn trong mặt phẳng tiếp xúc ngoài với nhau, thì đường tiếp tuyến chung của chúng vẫn phân tách được hai đường tròn, nhưng không phân tách chặt, vì chúng tiếp xúc tại đúng một điểm (tức là có giao nhau tại một điểm).

Mặc dù cần thiết rằng hai tập là rời nhau để có thể phân tách chúng một cách chặt chẽ, nhưng điều kiện này không đủ, ngay cả đối với các tập lồi và đóng. Ví dụ, cho:

$A=\left\{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}:x\leq\frac{1}{2},\quad\frac{1}{x}\leq y\leq 2\right\}$ và $B=\left\{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}:x\geq 0,\quad y=0\right\}$

Khi đó, $A$ và $B$ là hai tập rời nhau, lồi và đóng, nhưng không thể được phân tách chặt bởi một siêu phẳng (tức là một đường thẳng trong $\mathbb{R}^2$ ). Xem hình 4.

Hình 4: Các tập hợp lồi, đóng, rời nhau.

Có nhiều điều kiện thú vị đối với các tập $A$ và $B$ dẫn đến sự tồn tại của một siêu phẳng phân tách, nhưng hai định lý sau là đủ cho phần này. Việc chứng minh định lý đầu tiên đòi hỏi khá nhiều tài liệu chuẩn bị, nhưng định lý thứ hai theo sau một cách dễ dàng từ định lý thứ nhất.

ĐỊNH LÝ 12
Giả sử  và  là các tập lồi không rỗng sao cho  là compact và  là đóng. Khi đó tồn tại một siêu phẳng  phân tách chặt  và  nếu và chỉ nếu .

ĐỊNH LÝ 13
Giả sử  và  là các tập compact không rỗng. Khi đó tồn tại một siêu phẳng phân tách chặt  và  nếu và chỉ nếu .

Chứng minh: Giả sử rằng $(\text{conv}\:A)\cap(\text{conv}\:B)=\varnothing$ . Vì bao lồi của một tập compact là compact, định lý 12 đảm bảo rằng tồn tại một siêu phẳng $H$ phân tách chặt conv $A$ và conv $B$ . Rõ ràng, $H$ cũng phân tách chặt các tập nhỏ hơn là $A$ và $B$ .

Ngược lại, giả sử siêu phẳng $H=[f:d]$ phân tách chặt $A$ và $B$ . Không mất tính tổng quát, giả sử rằng $f(A)<d$ và $f(B)>d$ . Hãy để $\mathbf{x}=c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_k\mathbf{x}_k$ là một tổ hợp lồi bất kỳ của các phần tử trong $A$ . Khi đó:

$f(\mathbf{x})=c_1f(\mathbf{x}_1)+\cdots+c_kf(\mathbf{x}_k)<c_1d+\cdots+c_kd=d$

vì $c_1+\cdots+c_k=1$ . Do đó, $f(\text{conv}\:A)<d$ . Tương tự, $f(\text{conv}\:B)>d$ , vì vậy $H=[f:d]$ phân tách chặt conv $A$ và conv $B$ . Theo định lý 12, conv $A$ và conv $B$ phải rời nhau.

Ví dụ 8: Cho

$\mathbf{a}_1=\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix},\:\mathbf{a}_2=\begin{bmatrix}-3\\2\\1\end{bmatrix},\:\mathbf{a}_3=\begin{bmatrix}3\\4\\0\end{bmatrix},\:\mathbf{b}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix},\:\mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}2\\-1\\5\end{bmatrix}$

và đặt $A=\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\}$ và $B=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2\}$ . Hãy chứng minh rằng siêu phẳng $H=[f:5]$ , với $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1-3x_2+x_3,$ không phân tách hai tập $A$ và $B$ . Có tồn tại siêu phẳng song song với $H$ mà phân tách được $A$ và $B$ không? Bao lồi của $A$ và $B$ có giao nhau không?

Giải: Tính giá trị của hàm tuyến tính $f$ tại từng điểm trong $A$ và $B$ :

$f(\mathbf{a}_1)=2,\:f(\mathbf{a}_2)=-11,\:f(\mathbf{a}_3)=-6,\:f(\mathbf{b}_1)=4,\:f(\mathbf{b}_2)=12$

Vì $f(\mathbf{b}_1)=4<5$ và $f(\mathbf{b}_2)=12>5$ , nên các điểm trong $B$ nằm ở hai phía của siêu phẳng $H=[f:5]$ . Do đó, $H$ không phân tách $A$ và $B$ .

Tuy nhiên, vì $f(A)<3$ và $f(B)>3$ , nên siêu phẳng song song với $H$ , cụ thể là $[f:3]$ , phân tách chặt $A$ và $B$ . Theo định lý 13, ta suy ra $(\text{conv}\,A)\cap(\text{conv}\,B)=\varnothing$ .

Lưu ý: Nếu không tồn tại siêu phẳng song song với $H$ phân tách chặt $A$ và $B$ , điều đó không nhất thiết có nghĩa là các bao lồi của chúng giao nhau. Có thể tồn tại một siêu phẳng khác không song song với $H$ vẫn có thể phân tách được chúng.

TOPOLOGY TRONG $\mathbb{R}^n$ : CÁC KHÁI NIỆM VÀ SỰ THẬT

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 9: Siêu phẳng (tiếp theo)

Lesson Attachments

TOPOLOGY TRONG : CÁC KHÁI NIỆM VÀ SỰ THẬT

Để lại một bình luận Hủy

TOPOLOGY TRONG $\mathbb{R}^n$ : CÁC KHÁI NIỆM VÀ SỰ THẬT