Bài giảng 5: Quy tắc Cramer, Thể tích và Biến đổi Tuyến tính

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Bài này áp dụng lý thuyết từ các bài trước để rút ra các công thức lý thuyết quan trọng và một cách diễn giải hình học của định thức.

Quy tắc Cramer

Quy tắc Cramer cần thiết trong nhiều tính toán lý thuyết. Ví dụ, nó có thể được sử dụng để nghiên cứu cách nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ bị ảnh hưởng bởi sự thay đổi trong các phần tử của $\mathbf{b}$ . Tuy nhiên, công thức này không hiệu quả trong tính toán thủ công, ngoại trừ đối với ma trận $2\times 2$ hoặc có thể là $3\times 3$ .

Với bất kỳ ma trận $n\times n$ nào $A$ và bất kỳ vectơ $\mathbf{b}$ nào trong $\mathbb{R}^n$ , ký hiệu $A_i(\mathbf{b})$ là ma trận thu được từ $A$ bằng cách thay thế cột thứ $i$ bằng vectơ $\mathbf{b}$ .

Định lý 7: Quy tắc Cramer

Giả sử $A$ là một ma trận khả nghịch $n\times n$ . Với bất kỳ vectơ $\mathbf{b}$ nào trong $\mathbb{R}^n$ , nghiệm duy nhất $\mathbf{x}$ của phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có các phần tử được cho bởi:

(1) $\begin{equation*}x_{i}=\frac{\det A_{i}\mathbf{b}}{\det A},\qquad i=1,2,...,n\end{equation*}$

Chứng minh: Gọi các cột của $A$ là $\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_n$ , và các cột của ma trận đơn vị $I$ là $\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n$ .

Nếu $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ , theo định nghĩa phép nhân ma trận, ta có:

$A(I_{i}(\mathbf{x}))=A\begin{bmatrix}\mathbf{e_{1}}&\cdots&\mathbf{x}&\cdots&\mathbf{e_{n}}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A\mathbf{e_{1}}&\cdots&A\mathbf{x}&\cdots&A\mathbf{e_{n}}\\\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\mathbf{a_{1}}&\cdots&\mathbf{b}&\cdots&\mathbf{a_{n}}\\\end{bmatrix}=A_{i}(\mathbf{b})$

Áp dụng tính chất nhân của định thức, ta có:

$(\det A)(\det I_i(\mathbf{x}))=\det A_i(\mathbf{b})$

Vì định thức của $I_i(\mathbf{x})$ đơn giản là $x_i$ (có thể kiểm tra bằng cách khai triển theo hàng thứ $i$ ), nên $(\det A)x_i=\det A_i(\mathbf{b})$ . Do đó, ta có công thức (1). Điều này chứng minh được định lý vì $A$ là khả nghịch nên $\det A\neq 0.$

Ví dụ 1: Sử dụng quy tắc Cramer để giải hệ phương trình:

$\begin{matrix}3x_1-2x_2&=6\\-5x_1+4x_2&=8\\\end{matrix}$

Giải: Xem hệ phương trình dưới dạng $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ . Sử dụng ký hiệu đã giới thiệu ở trên,

$A=\begin{bmatrix}3&-2\\-5&4\\\end{bmatrix},\qquad A_{1}(\mathbf{b})=\begin{bmatrix}6&-2\\8&4\\\end{bmatrix},\qquad A_{2}(\mathbf{b})=\begin{bmatrix}3&6\\-5&8\\\end{bmatrix}$

Vì $\det A=2$ , hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Theo quy tắc Cramer,

$\begin{matrix}x_{1}&=\frac{\det A_{1}\mathbf{b}}{\det A}&=\frac{24+16}{2}&=20\\\\x_{2}&=\frac{\det A_{2}\mathbf{b}}{\det A}&=\frac{24+30}{2}&=27\\\end{matrix}$

Ứng Dụng Trong Kỹ Thuật

Nhiều bài toán quan trọng trong kỹ thuật, đặc biệt là trong kỹ thuật điện và lý thuyết điều khiển, có thể được phân tích bằng biến đổi Laplace. Phương pháp này chuyển một hệ phương trình vi phân tuyến tính thích hợp thành một hệ phương trình đại số tuyến tính, trong đó các hệ số phụ thuộc vào một tham số. Ví dụ sau đây minh họa loại hệ phương trình đại số có thể xuất hiện.

Ví dụ 2: Xét hệ phương trình sau, trong đó ss là một tham số chưa xác định. Xác định các giá trị của $s$ để hệ có nghiệm duy nhất và sử dụng quy tắc Cramer để mô tả nghiệm của hệ.

$\begin{matrix}3sx_1-2x_2&=4\\-6x_1+sx_2&=1\\\end{matrix}$

Giải: Xem hệ phương trình dưới dạng $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ . Khi đó:

$A=\begin{bmatrix}3s&-2\\-6&s\\\end{bmatrix},\qquad A_{1}(\mathbf{b})=\begin{bmatrix}4&-2\\1&s\\\end{bmatrix},\qquad A_{2}(\mathbf{b})=\begin{bmatrix}3s&4\\-6&1\\\end{bmatrix}$

khi đó

$\det A=3s^{2}-12=3(s+2)(s-2)$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $s\neq\pm 2$ . Với những giá trị $s$ thỏa mãn điều kiện này, nghiệm của hệ là $(x_1,x_2)$ , trong đó:

$\begin{matrix}x_{1}&=\frac{\det A_{1}\mathbf{b}}{\det A}&=\frac{4s+2}{3(s+2)(s-2)}&\\\\x_{2}&=\frac{\det A_{2}\mathbf{b}}{\det A}&=\frac{3s+24}{3(s+2)(s-2)}&=\frac{s+8}{(s+2)(s-2)}\\\end{matrix}$

Công Thức Tính $A^{-1}$

Quy tắc Cramer dẫn đến một công thức tổng quát cho ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông $n\times n$ bất kỳ. Cột thứ $j$ của $A^{-1}$ là một vector $x$ thỏa mãn:

$A\mathbf{x}=\mathbf{e_{j}}$

trong đó $\mathbf{e_{j}}$ là cột thứ $j$ của ma trận đơn vị, và phần tử hàng $i$ , cột $j$ của $A^{-1}$ chính là phần tử $(i,j)$ của $A^{-1}$ . Theo quy tắc Cramer:

(2) $\begin{equation*}\begin{Bmatrix}(i,j)-\text{entry of}\:A^{-1}\end{Bmatrix}=x_{i}=\frac{\det A_{i}(\mathbf{e}_{j})}{\det A}\end{equation*}$

Nhắc lại rằng $A_{ji}$ là ma trận con của AA thu được bằng cách loại bỏ hàng $j$ và cột $i$ . Khi khai triển định thức theo cột $i$ của $A_i(\mathbf{e}_j)$ , ta có:

(3) $\begin{equation*}\det A_i(\mathbf{e}_j)=(-1)^{1+j}\det A_{ji}=C_{ji}\end{equation*}$

trong đó $C_{ji}$ là phần tử đồng vị (cofactor) của $A$ . Theo công thức trên, phần tử $(i,j)$ của $A^{-1}$ là:

(4) $\begin{equation*}A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots&C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\cdots&C_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\C_{1n}&C_{2n}&\cdots&C_{nn}\\\end{bmatrix}\end{equation*}$

Ma trận các phần bù đại số ở vế phải của (4) được gọi là ma trận adjugate (hay còn gọi là adjoint cổ điển) của $A$ , ký hiệu là adj $A$ . (Thuật ngữ adjoint cũng có một ý nghĩa khác trong các văn bản nâng cao về biến đổi tuyến tính.) Định lý tiếp theo chỉ đơn giản là phát biểu lại (4).

Định Lý 8 Công Thức Tính Ma Trận Nghịch Đảo

Cho  là một ma trận vuông khả nghịch kích thước . Khi đó:

Ví Dụ 3: Tìm ma trận nghịch đảo của

$A=\begin{bmatrix}2&1&3\\1&-1&1\\1&4&-2\\\end{bmatrix}$

Giải: Chín phần tử đồng vị (cofactor) của $A$ được tính như sau:

$\begin{matrix}\begin{matrix}C_{11}&=+\begin{vmatrix}-1&1\\4&-2\\\end{vmatrix}&=-2\\\end{matrix},\:&\begin{matrix}C_{12}&=-\begin{vmatrix}1&1\\1&-2\\\end{matrix}&=3\\\end{matrix},\:&C_{13}&=+\begin{vmatrix}1&-1\\1&4\\\end{vmatrix}&=5\\\end{matrix}$

$\begin{matrix}\begin{matrix}C_{21}&=-\begin{vmatrix}1&3\\4&-2\\\end{vmatrix}&=14\\\end{matrix},\:&\begin{matrix}C_{22}&=+\begin{vmatrix}2&3\\1&-2\\\end{vmatrix}&=-7\\\end{matrix},\:&C_{23}&=-\begin{vmatrix}2&1\\1&4\\\end{vmatrix}&=-7\\\end{matrix}$

$\begin{matrix}\begin{matrix}C_{31}&=+\begin{vmatrix}1&3\\-1&1\\\end{vmatrix}&=4\\\end{matrix},\:&\begin{matrix}C_{32}&=-\begin{vmatrix}2&3\\1&1\\\end{vmatrix}&=1\\\end{matrix},\:&C_{33}&=+\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\\\end{vmatrix}&=-3\\\end{matrix}$

Ma trận phụ hợp (adjugate matrix) của $A$ là ma trận chuyển vị của ma trận cofactors. (Ví dụ, phần tử $C_{12}$ sẽ nằm ở vị trí $(2,1)$ trong adj $A$ .)

$\text{adj}\:A=\begin{bmatrix}-2&14&4\\3&-7&1\\5&-7&-3\\\end{bmatrix}$

Ta có thể tính trực tiếp $\det A$ , nhưng cách tính sau đây vừa kiểm tra kết quả của adj $A$ vừa cho giá trị của $\det A$ :

$(\text{adj}\:A)\,A=\begin{bmatrix}-2&14&4\\3&-7&1\\5&-7&-3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1&3\\1&-1&1\\1&4&-2\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14&0&0\\0&14&0\\0&0&14\\\end{bmatrix}=14I$

Theo định lý 8, ta suy ra:

$A^{-1}=\frac{1}{14}\begin{bmatrix}-2&14&4\\3&-7&1\\5&-7&-3\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1/7&1&2/7\\3/14&-1/2&1/14\\5/14&-1/2&-3/14\\\end{bmatrix}$

Ghi Chú Số Học

Định lý 8 chủ yếu hữu ích trong các tính toán lý thuyết. Công thức tính $A^{-1}$ giúp suy ra các tính chất của ma trận nghịch đảo mà không cần trực tiếp tính toán. Tuy nhiên, trừ những trường hợp đặc biệt, thuật toán trong mục 2.2 cung cấp phương pháp tốt hơn nhiều để tính $A^{-1}$ , nếu thực sự cần tìm nghịch đảo.

Quy tắc Cramer cũng là một công cụ lý thuyết. Nó được sử dụng để nghiên cứu mức độ nhạy cảm của nghiệm của phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ đối với những thay đổi ở một phần tử trong $\mathbf{b}$ hoặc $A$ (có thể do sai số thí nghiệm khi thu thập dữ liệu).

Khi $A$ là ma trận $3\times 3$ với các phần tử phức, Quy tắc Cramer đôi khi được chọn để tính toán bằng tay vì phép khử Gauss trên $\begin{bmatrix}A&\mathbf{b}\\\end{bmatrix}$ với số phức có thể phức tạp, trong khi việc tính định thức lại khá đơn giản.

Tuy nhiên, đối với ma trận $n\times n$ lớn hơn (dù là số thực hay số phức), Quy tắc Cramer cực kỳ kém hiệu quả. Chỉ riêng việc tính một định thức cũng tốn gần bằng công sức giải $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ bằng phép khử Gauss.

Quy tắc Cramer

Ứng Dụng Trong Kỹ Thuật

Ghi Chú Số Học

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 5: Quy tắc Cramer, Thể tích và Biến đổi Tuyến tính

Lesson Attachments

Quy tắc Cramer

Ứng Dụng Trong Kỹ Thuật

Ghi Chú Số Học

Để lại một bình luận Hủy