Bài giảng 6: Định thức là Diện tích hoặc Thể tích

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Tiếp theo bài 5: rong ứng dụng tiếp theo, chúng ta xác minh cách hiểu hình học của định thức như đã mô tả trong phần giới thiệu chương. Mặc dù một thảo luận tổng quát về độ dài và khoảng cách trong $\mathbb{R}^{n}$ sẽ được trình bày trong bài, ở đây chúng ta giả định rằng các khái niệm Euclid thông thường về độ dài, diện tích và thể tích đã được hiểu rõ trong $\mathbb{R}^{2}$ và $\mathbb{R}^{3}$ .

Định lý 9

• Nếu  là ma trận , thì diện tích của hình bình hành được xác định bởi các cột của  là .
• Nếu  là ma trận , thì thể tích của hình hộp xác định bởi các cột của  là .

Chứng minh: Định lý này rõ ràng đúng với bất kỳ ma trận đường chéo $2\times 2$ .

$\begin{vmatrix}\det\begin{bmatrix}a&0\\0&d\\\end{bmatrix}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}ad\end{vmatrix}=$ diện tích hình chữ nhật.

Tham khảo Hình 1.

Hình 1: Diện tích = $\begin{vmatrix}ad\end{vmatrix}$

Chỉ cần chứng minh rằng bất kỳ ma trận $2\times 2$ nào cũng có thể được biến đổi thành một ma trận đường chéo theo cách không làm thay đổi diện tích của hình bình hành liên quan cũng như giá trị tuyệt đối của định thức.

Ta biết rằng giá trị tuyệt đối của định thức không thay đổi khi:

Hoán đổi hai cột của ma trận.
Cộng một bội số của một cột vào cột khác.

Dễ thấy rằng các phép toán này đủ để biến đổi AA thành một ma trận đường chéo. Việc hoán đổi cột không làm thay đổi hình bình hành. Vì vậy, chỉ cần chứng minh một quan sát hình học đơn giản áp dụng cho các vectơ trong $\mathbb{R}^{2}$ hoặc $\mathbb{R}^{3}$ .

Cho  và  là các vectơ khác không. Khi đó, với mọi số vô hướng , diện tích của hình bình hành xác định bởi  và  bằng diện tích của hình bình hành xác định bởi  và .

Để chứng minh điều này, ta có thể giả sử rằng $\mathbf{a}_2$ không phải là bội của $\mathbf{a}_1$ , vì nếu không, hai hình bình hành sẽ suy biến và có diện tích bằng 0.

Gọi $L$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $\mathbf{0}$ và $\mathbf{a}_1$ , khi đó $\mathbf{a}_2+L$ là đường thẳng đi qua $\mathbf{a}_2$ và song song với $L$ . Điểm $\mathbf{a}_2+c\mathbf{a}_1$ nằm trên đường này. Xem hình 2.

Hình 2: Hai hình bình hành có diện tích bằng nhau.

Chứng minh cho $\mathbb{R}^3$ là tương tự. Định lý hiển nhiên đúng với một ma trận đường chéo $3\times 3$ (xem Hình 3). Mọi ma trận $3\times 3$ đều có thể được biến đổi thành một ma trận đường chéo bằng cách sử dụng các phép toán trên cột mà không làm thay đổi $|\det A|$ (tương tự như thực hiện phép biến đổi hàng trên $A^T$ ).

Hình 3: Thể tích = $\begin{vmatrix}abc\end{vmatrix}$

Do đó, chỉ cần chứng minh rằng các phép toán này không ảnh hưởng đến thể tích của hình hộp xác định bởi các cột của $A$ .

Một hình hộp được hiển thị trong fhình 4 dưới dạng một hộp có hai mặt nghiêng. Thể tích của nó bằng diện tích của đáy trong mặt phẳng $\text{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_3\end{Bmatrix}$ nhân với chiều cao của $\mathbf{a}_2$ so với mặt phẳng $\text{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_3\end{Bmatrix}$ .

Hình 4: Hai hình hộp song song có thể tích bằng nhau.

Bất kỳ vectơ $\mathbf{a}_2+c\mathbf{a}_1$ nào cũng có cùng chiều cao, vì $\mathbf{a}_2+c\mathbf{a}_1$ nằm trong mặt phẳng $\mathbf{a}_2+\text{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_3\end{Bmatrix}$ , vốn song song với $\text{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_3\end{Bmatrix}$ . Do đó, thể tích của hình hộp không thay đổi khi thay đổi $\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\mathbf{a}_3\\\end{bmatrix}$ thành $\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2+c\mathbf{a}_1&\mathbf{a}_3\\\end{bmatrix}$ .

Vậy, phép thay thế một cột không ảnh hưởng đến thể tích của hình hộp. Vì hoán đổi cột cũng không làm thay đổi thể tích, nên chứng minh hoàn tất.

Ví dụ 4: Tính diện tích của hình bình hành xác định bởi các điểm $(-2,-2),(0,3),(4,-1)$ và $(6,4)$ . Xem Hình 5(a).

Giải: Trước tiên, ta tịnh tiến hình bình hành sao cho một đỉnh trùng với gốc tọa độ. Chẳng hạn, trừ đi tọa độ của điểm $(-2,-2)$ khỏi tất cả bốn đỉnh. Khi đó, hình bình hành mới có cùng diện tích với hình ban đầu và có các đỉnh $(0,0),(2,5),(6,1),(8,6)$ . Xem Hình 5(b).

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 6: Định thức là Diện tích hoặc Thể tích

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy