Bài giảng 14: Phân rã Ma Trận trong Kỹ Thuật Điện

Phân rã ma trận có mối liên hệ chặt chẽ với bài toán xây dựng một mạng điện có các đặc tính được xác định trước. Phần thảo luận sau đây chỉ cung cấp một cái nhìn sơ lược về mối liên hệ giữa phân rã ma trận và thiết kế mạch điện.

Giả sử hộp trong Hình 3 đại diện cho một loại mạch điện nào đó, với đầu vào và đầu ra. Ghi nhận điện áp và dòng điện đầu vào bằng $\begin{bmatrix}v_{1}\\i_{1}\end{bmatrix}$ (trong đó điện áp v tính bằng vôn và dòng điện i tính bằng ampe), và ghi nhận điện áp và dòng điện đầu ra bằng $\begin{bmatrix}v_{2}\\i_{2}\end{bmatrix}$ . Thông thường, phép biến đổi từ $\begin{bmatrix}v_{1}\\i_{1}\end{bmatrix}$ sang $\begin{bmatrix}v_{2}\\i_{2}\end{bmatrix}$ là tuyến tính. Nghĩa là, tồn tại một ma trận $A$ , gọi là ma trận truyền (transfer matrix), sao cho:

$\begin{bmatrix}v_{2}\\i_{2}\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}v_{1}\\i_{1}\end{bmatrix}$

Hình 3: Một mạch điện với các đầu vào và đầu ra.

Hình 4 minh họa một mạch thang, trong đó hai mạch (hoặc có thể nhiều hơn) được nối tiếp nhau, sao cho đầu ra của một mạch trở thành đầu vào của mạch kế tiếp. Mạch bên trái trong Hình 4 được gọi là mạch nối tiếp (series circuit), với điện trở R₁ (tính bằng ôm).

Mạch bên phải trong hình 4 là mạch song song (shunt circuit), với điện trở R₂. Sử dụng định luật Ohm và các định luật Kirchhoff, có thể chứng minh rằng ma trận truyền của mạch nối tiếp và mạch song song lần lượt là

$\begin{bmatrix}1&-R_{1}\\0&1\\\end{bmatrix}$ và $\begin{bmatrix}1&0\\-1/R_{2}&1\\\end{bmatrix}$ .

Ví dụ 3:

a) Tính ma trận truyền của mạch thang trong Hình 4.

b) Thiết kế một mạch thang có ma trận truyền là $\begin{bmatrix}1&-8\\-.5&5\\\end{bmatrix}$ .

Giải:

a) Gọi $A_{1}$ và $A_{2}$ lần lượt là ma trận truyền của mạch nối tiếp và mạch song song. Khi đó, một vector đầu vào x trước tiên được biến đổi thành $A_{1}\mathbf{x}$ , sau đó tiếp tục biến đổi thành $A_{2}(A_{1}\mathbf{x})$ . Kết nối nối tiếp của các mạch tương ứng với phép hợp thành (composition) của các phép biến đổi tuyến tính, và ma trận truyền của mạch thang là (lưu ý thứ tự nhân ma trận)

(6) $\begin{equation*}A_{2}A_{1}=\begin{bmatrix}1&0\\-1/R_{2}&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&R_{1}\\0&1\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-R_{1}\\-1/R_{2}&1+R_{1}/R_{2}\\\end{bmatrix}\end{equation*}$

b) Để phân rã ma trận $\begin{bmatrix}1&-8\\-.5&5\\\end{bmatrix}$ thành tích của các ma trận truyền, như trong phương trình (6), ta cần tìm $R_{1}$ và $R_{2}$ trong Hình 4 sao cho:

$\begin{bmatrix}1&-R_{1}\\-1/R_{2}&1+R_{1}/R_{2}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-8\\-.5&5\\\end{bmatrix}$

Từ phần tử ở vị trí (1,2), ta có: $R_{1}=8$ ôm.
Từ phần tử ở vị trí (2,1), ta có: $1/R_{2}=0.5$ ôm, do đó $R_{2}=1/0.5=2$ ôm.

Với các giá trị này, mạch trong hình 4 có ma trận truyền mong muốn.

Ý Nghĩa của Ma Trận Truyền

Ma trận truyền của một mạng điện tóm tắt hành vi đầu vào – đầu ra (input-output behavior), tức là các thông số thiết kế của mạng điện, mà không cần xét đến chi tiết bên trong của các mạch thành phần.

Để xây dựng một mạng điện có các đặc tính được xác định trước, trước tiên kỹ sư phải xác định xem liệu một mạng như vậy có thể được thiết kế hay không (realizability). Sau đó, kỹ sư sẽ cố gắng phân rã ma trận truyền thành tích của các ma trận tương ứng với những mạch nhỏ hơn, có thể đã được sản xuất sẵn và sẵn sàng để lắp ráp.

Trong trường hợp phổ biến của dòng điện xoay chiều (AC circuits), các phần tử trong ma trận truyền thường là các hàm số phức hữu tỷ (rational complex-valued functions). Một bài toán tiêu chuẩn là tìm một biểu diễn tối thiểu (minimal realization), sao cho số lượng linh kiện điện tử sử dụng là ít nhất.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 14: Phân rã Ma Trận trong Kỹ Thuật Điện

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy