Bài giảng 23: Số chiều và Hạng

Bài này tiếp tục thảo luận về không gian con và các cơ sở của chúng, bắt đầu với khái niệm hệ tọa độ. Định nghĩa và ví dụ dưới đây sẽ giúp thuật ngữ mới, số chiều, trở nên tự nhiên hơn, ít nhất là đối với các không gian con của $\mathbb{R}^3$ .

Hệ tọa độ

Lý do chính để chọn một cơ sở cho không gian con $H$ thay vì chỉ một tập sinh là vì mỗi vectơ trong $H$ có thể được viết duy nhất dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở.

Để thấy điều này, giả sử tập hợp $\ss=\{\mathbf{b}_1,...,\mathbf{b}_p\}$ là một cơ sở của $H$ , và một vectơ $\mathbf{x}$ trong $H$ có thể được biểu diễn theo hai cách khác nhau:

$\mathbf{x}=c_1\mathbf{b}_1+...+c_p\mathbf{b}_p$ và

(1) $\begin{equation*}\mathbf{x}=d_1\mathbf{b}_1+...+d_p\mathbf{b}_p\end{equation*}$

Trừ hai phương trình này cho nhau, ta được:

(2) $\begin{equation*}\mathbf{0}=\mathbf{x}-\mathbf{x}=(c_1-d_1)\mathbf{b}_1+...+(c_p-d_p)\mathbf{b}_p\end{equation*}$

Vì $\ss$ là độc lập tuyến tính, nên tất cả các hệ số phải bằng 0, tức là $c_j=d_j,\:\forall j=1,2,...,p$ , Điều này chứng tỏ rằng hai biểu diễn trong (1) thực ra là giống nhau.

Định nghĩa

Giả sử tập hợp  là một cơ sở của không gian con . Đối với mỗi , tọa độ của  theo cơ sở  là các hệ số  sao cho , và vectơ trong 


được gọi là vectơ tọa độ của  theo cơ sở  hoặc vectơ tọa độ  của .

Ví dụ 1: Cho

$\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}3\\6\\2\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}\quad\mathbf{x}=\begin{bmatrix}3\\12\\7\end{bmatrix}$

và $\ss=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}$ . Khi đó, $\ss$ là một cơ sở của $H=\text{Span}\begin{Bmatrix}{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}\end{Bmatrix}$ vì ${\mathbf{v}_1$ và ${\mathbf{v}_2$ độc lập tuyến tính. Hãy xác định xem $\mathbf{x}$ có thuộc $H$ hay không, và nếu có, tìm vectơ tọa độ của $\mathbf{x}$ theo cơ sở $\ss$ .

Giải: Nếu $\mathbf{x}$ thuộc $H$ , thì hệ phương trình sau phải có nghiệm:

$c_1\begin{bmatrix}3\\6\\2\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\12\\7\end{bmatrix}$

Các số vô hướng $c_1$ và $c_2$ , nếu tồn tại, chính là tọa độ của $\mathbf{x}$ theo cơ sở $\ss$ . Các phép biến đổi hàng cho thấy:

$\begin{bmatrix}3&-1&3\\6&0&12\\2&1&7\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&3\\0&0&0\\\end{bmatrix}$

Do đó, $c_1=2,\,c_2=3$ và $[\mathbf{x}]_{\ss}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$ . Cơ sở $\ss$ xác định một “hệ tọa độ” trên $H$ , có thể hình dung bằng lưới trong Hình 1.

Hình 1: Một hệ tọa độ trên mặt phẳng $H$ trong $\mathbb{R}^3.$

Lưu ý rằng mặc dù các điểm trong $H$ cũng thuộc $\mathbb{R}^3$ , nhưng chúng được xác định hoàn toàn bởi các vectơ tọa độ của chúng, thuộc $\mathbb{R}^2$ . Lưới trên mặt phẳng trong hình 1 làm cho $H$ trông giống như $\mathbb{R}^2$ . Ánh xạ $\mathbf{x}\mapsto[\mathbf{x}]_{\ss}$ là một ánh xạ một-một giữa $H$ và $\mathbb{R}^2$ đồng thời bảo toàn các tổ hợp tuyến tính. Chúng ta gọi ánh xạ này là một đẳng cấu (isomorphism) và nói rằng $H$ là đẳng cấu với $\mathbb{R}^2$ .

Nói chung, nếu $\ss=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_p\}$ là một cơ sở của $H$ , thì ánh xạ $\mathbf{x}\mapsto[\mathbf{x}]_{\ss}$ là một ánh xạ một-một làm cho $H$ trông giống và hoạt động như $\mathbb{R}^p$ (mặc dù các vectơ trong $H$ có thể có nhiều hơn $p$ phần tử).