Bài giảng 5: Chuyển vị của ma trận

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Cho ma trận $A$ có kích thước $m\times n$ , chuyển vị của $A$ là ma trận $m\times n$ , được ký hiệu là $A^T$ , trong đó các cột của $A^T$ được tạo thành từ các hàng tương ứng của $A$ .

Ví dụ 8: Cho

$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}-5&2\\1&-3\\0&4\\\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\-3&5&-2&7\\\end{bmatrix}$

Khi đó:

$A^{T}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix},\quad B^{T}=\begin{bmatrix}-5&1&0\\2&-3&4\\\end{bmatrix},\quad C^{T}=\begin{bmatrix}1&-3\\1&5\\1&-2\\1&7\\\end{bmatrix}$

Định lý 3

Cho  và  là các ma trận có kích thước phù hợp để thực hiện các phép cộng và nhân dưới đây.
a. 
b. 
c. Với mọi số r bất kỳ, 
d.

Chứng minh các tính chất (a) – (c) khá đơn giản và được bỏ qua. Đối với (d),
thông thường, $(AB)^T$ không bằng $A^T B^T$ , ngay cả khi $A$ và $B$ có kích thước sao cho tích $A^T B^T$ được xác định.

Tổng quát của định lý 3(d) đối với tích của nhiều hơn hai ma trận có thể được phát biểu như sau:
Chuyển vị của một tích các ma trận bằng tích của các chuyển vị theo thứ tự ngược lại.

Ứng dụng trong Trí tuệ nhân tạo (AI)

Trí tuệ nhân tạo (AI) liên quan đến việc giúp máy tính học cách nhận diện thông tin quan trọng từ bất cứ thứ gì có thể được số hóa. Một lĩnh vực quan trọng của AI là xác định xem đối tượng trong hình ảnh có khớp với một đối tượng đã chọn như số, dấu vân tay hoặc khuôn mặt hay không.

Trong ví dụ tiếp theo, phép chuyển vị và nhân ma trận được sử dụng để xác định liệu một khối ô vuông màu $2\times 2$ có khớp với mẫu bàn cờ đã cho trong hình 4 hay không.

Ví dụ 9: Để đưa một khối $2\times 2$ ô màu vào máy tính, đầu tiên nó được chuyển đổi thành một vector $4\times 1$ bằng cách gán giá trị 1 cho mỗi ô màu xanh và 0 cho mỗi ô màu trắng. Sau đó, máy tính chuyển đổi khối số này thành một vector bằng cách xếp các số trong từng cột xuống dưới các số trong cột bên trái.

Cho $M=\begin{bmatrix}1&0&0&-1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&1\\\end{bmatrix}$ .

Lưu ý rằng $\mathbf{v}^T M\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1&0&0&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&-1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}=0,$

và $\mathbf{w}^T M\mathbf{w}=\begin{bmatrix}0&0&0&0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&-1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}=0,$

với $\mathbf{w}$ là vector được tạo bởi một khối $2\times 2$ gồm toàn bộ ô trắng.

Có thể kiểm chứng rằng, với bất kỳ vector $\mathbf{x}$ nào khác $\mathbf{v}$ hoặc $\mathbf{w}$ , nếu $\mathbf{x}$ được tạo từ một khối $2\times 2$ chứa cả ô trắng và xanh, thì tích $\mathbf{x}^T M\mathbf{x}\neq 0$ . Do đó, nếu máy tính kiểm tra giá trị $\mathbf{x}^T M\mathbf{x}$ và thấy nó khác 0, máy tính có thể kết luận rằng mẫu tương ứng với $\mathbf{x}$ không phải là bàn cờ có ô xanh ở góc trên bên trái.

$\mathbf{x}^T M\mathbf{x}=1$ và $\mathbf{x}^T \mathbf{x}=3$

Mẫu này không phải là mẫu bàn cờ vì $\mathbf{x}^T M\mathbf{x}\neq 0$

$\mathbf{x}^T M\mathbf{x}=0$ và $\mathbf{x}^T \mathbf{x}=2$

Mẫu này là mẫu bàn cờ vì $\mathbf{x}^T M\mathbf{x}=0$ nhưng $\mathbf{x}^T \mathbf{x}\neq 0$

Để phân biệt giữa hai trường hợp này, máy tính có thể tính tích $\mathbf{x}^T \mathbf{x}$ . Nếu $\mathbf{x}^T \mathbf{x}=0$ , thì $\mathbf{x}=\mathbf{w}$ . Nếu $\mathbf{x}^T \mathbf{x}\neq 0$ , thì $\mathbf{x}=\mathbf{v}$ .

Một khía cạnh quan trọng khác của AI bắt đầu từ trước khi dữ liệu được đưa vào máy. Trong bài trước, chúng ta đã có ví dụ minh họa cách nhân ma trận có thể được sử dụng để di chuyển vector trong không gian. Trong ví dụ tiếp theo, phép nhân ma trận được sử dụng để lọc dữ liệu và chuẩn bị cho quá trình xử lý.

Ví dụ 10: Các ngày xảy ra tai nạn của đội mặt đất trong tháng 1 và tháng 2 năm 2020 được liệt kê trong các cột của ma trận $T$ cho Sân bay Toronto Pearson và ma trận $C$ cho Sân bay Chicago O’Hare:

Toronto:

$\begin{bmatrix}1&12&14&15&21&22&23&1&2&3&12&15&17&19&26\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\\end{bmatrix}$

Chicago:

$C=\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&2&2&2&2&2\\1&11&22&23&24&1&2&5&20&21&\\\end{bmatrix}$

Rõ ràng, dữ liệu được sắp xếp theo cách khác nhau trong hai ma trận. Canada và Hoa Kỳ có truyền thống khác nhau về thứ tự ngày và tháng khi viết một ngày.

Đối với ma trận $T$ , ngày được liệt kê trong hàng đầu tiên và tháng được liệt kê trong hàng thứ hai.
Đối với ma trận $C$ , tháng được liệt kê trong hàng đầu tiên và ngày được liệt kê trong hàng thứ hai.

Để sử dụng dữ liệu này, cần hoán đổi hàng thứ nhất và hàng thứ hai trong một trong hai ma trận. Ta thấy rằng ma trận $A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\\end{bmatrix}$ hoán đổi tọa độ $x_1$ và $x_2$ của bất kỳ vector $x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}$ nào mà nó được áp dụng.

$AT=\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&2&2&2&2&2&2&2&2\\1&12&14&15&21&22&23&1&2&3&12&15&17&19&26\\\end{bmatrix}$

có dữ liệu được sắp xếp theo cùng thứ tự như trong ma trận $C$ . Bây giờ, các ma trận $AT$ và $C$ có thể được đưa vào cùng một hệ thống máy tính để xử lý.

Ghi chú số học

1. Cách nhanh nhất để tính tích ma trận  trên máy tính phụ thuộc vào cách máy tính lưu trữ ma trận trong bộ nhớ. Các thuật toán hiệu suất cao tiêu chuẩn, chẳng hạn như trong LAPACK, tính  theo cột, giống như định nghĩa của chúng ta về phép nhân ma trận. (Một phiên bản của LAPACK được viết bằng C++ tính  theo hàng.)

2. Định nghĩa của phép nhân ma trận  phù hợp với xử lý song song trên máy tính. Các cột của  có thể được gán riêng lẻ hoặc theo nhóm cho các bộ xử lý khác nhau, giúp chúng có thể tính toán độc lập và đồng thời các cột tương ứng của .

Ứng dụng trong Trí tuệ nhân tạo (AI)

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 5: Chuyển vị của ma trận

Lesson Attachments

Ứng dụng trong Trí tuệ nhân tạo (AI)

Để lại một bình luận Hủy