Bài giảng 2: Các phép toán ma trận

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Nếu A là một ma trận – tức là một ma trận có hàng và cột – thì phần tử vô hướng trong hàng thứ và cột thứ của được ký hiệu là và được gọi là phần tử của . Xem Hình 1.

Ví dụ, phần tử là số trong hàng thứ ba, cột thứ hai.

Mỗi cột của là một danh sách gồm mm số thực, xác định một vector trong . Thông thường, các cột này được ký hiệu là , và ma trận được viết dưới dạng

Lưu ý rằng số là phần tử thứ (tính từ trên xuống) của vector cột thứ , .

Các phần tử trên đường chéo chính trong một ma trận là , và chúng tạo thành đường chéo chính của . Một ma trận đường chéo là một ma trận vuông có tất cả các phần tử không nằm trên đường chéo chính bằng 0. Một ví dụ là ma trận đơn vị , . Một ma trận có tất cả các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận không và được ký hiệu là 0. Kích thước của ma trận không thường có thể xác định rõ ràng từ ngữ cảnh.

Tổng và Bội Số Của Một Số Vô Hướng

Các phép toán số học cho vector đã được mô tả trước đó có thể mở rộng một cách tự nhiên cho ma trận. Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng kích thước (tức là cùng số hàng và số cột) và nếu các cột tương ứng của chúng bằng nhau, nghĩa là các phần tử tương ứng của chúng phải bằng nhau.

Nếu và là hai ma trận , thì tổng là ma trận có các cột bằng tổng của các cột tương ứng trong và . Vì phép cộng vector theo cột được thực hiện theo từng phần tử, nên mỗi phần tử trong là tổng của các phần tử tương ứng trong và . Tổng chỉ được định nghĩa khi và có cùng kích thước.

Ví dụ 1: Cho

Khi đó

Nếu là một số vô hướng và là một ma trận, thì bội số vô hướng là ma trận có các cột bằng lần các cột tương ứng trong . Giống như đối với vector, được hiểu là , và tương đương với .

Ví dụ 2: Nếu và là các ma trận trong ví dụ 1, thì

Trong ví dụ 2, không cần tính dưới dạng vì các quy tắc đại số thông thường áp dụng cho tổng và bội số vô hướng của ma trận, như được chứng minh trong định lý sau.

Định lý 1

Cho ,  và  là các ma trận có cùng kích thước, và cho  và  là các số vô hướng.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 

Mỗi đẳng thức trong Định lý 1 được kiểm chứng bằng cách chứng minh rằng ma trận ở vế trái có cùng kích thước với ma trận ở vế phải và rằng các cột tương ứng của chúng bằng nhau. Kích thước không phải là vấn đề vì , và có cùng kích thước.

Sự bằng nhau của các cột được suy ra trực tiếp từ các tính chất tương tự của vector. Ví dụ, nếu cột thứ của , và lần lượt là và , thì cột thứ của và lần lượt là và . Vì hai tổng vector này bằng nhau với mọi , nên tính chất (b) được kiểm chứng.

Do tính chất kết hợp của phép cộng, chúng ta có thể đơn giản viết tổng dưới dạng , có thể được tính theo cả hai cách: hoặc . Điều này cũng áp dụng cho tổng của bốn ma trận trở lên.