Bài giảng 18: Biến Đổi Kết Hợp

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Sự di chuyển của một hình trên màn hình máy tính thường đòi hỏi hai hoặc nhiều phép biến đổi cơ bản. Khi sử dụng tọa độ đồng nhất, sự kết hợp của các phép biến đổi này tương ứng với phép nhân ma trận.

Ví dụ 6: Tìm ma trận $3\times 3$ tương ứng với phép biến đổi kết hợp bao gồm:

Phép co giãn theo hệ số .3
Phép quay $90^\circ$ quanh gốc tọa độ
Cuối cùng là một phép tịnh tiến, cộng thêm (−.5,2) vào mỗi điểm của hình.

Giải: Nếu $\varphi={\pi}/{2}$ , thì $sin\,\varphi=1$ và $cos\,\varphi=0$ .

Từ các ví dụ trước, ta có

Ma trận cho phép biến đổi kết hợp là

$\begin{bmatrix}1&0&-.5\\0&1&2\\0&0&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}.3&0&0\\0&.3&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}0&-1&-.5\\1&0&2\\0&0&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}.3&0&0\\0&.3&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-.3&-.5\\.3&0&2\\0&0&1\\\end{bmatrix}$

Đồ Họa 3D Trên Máy Tính

Một trong những lĩnh vực thú vị nhất trong đồ họa máy tính hiện nay là mô hình hóa phân tử. Với đồ họa ba chiều (3D), các nhà sinh học có thể kiểm tra mô phỏng phân tử protein và tìm kiếm các vị trí hoạt động có thể liên kết với phân tử thuốc. Nhà nghiên cứu có thể xoay và dịch chuyển phân tử thuốc thử nghiệm để thử gắn vào protein.

Khả năng hình dung các phản ứng hóa học tiềm năng này rất quan trọng đối với nghiên cứu hiện đại về thuốc và ung thư. Trên thực tế, sự phát triển của thiết kế thuốc phụ thuộc một phần vào sự tiến bộ của đồ họa máy tính trong việc tạo ra các mô phỏng phân tử thực tế và mô phỏng tương tác của chúng.

Hiện nay, nghiên cứu mô hình hóa phân tử tập trung vào thực tế ảo, trong đó nhà nghiên cứu có thể nhìn thấy và cảm nhận quá trình một phân tử thuốc trượt vào phân tử protein.

Một thiết kế khác cho thực tế ảo bao gồm mũ đội đầu và găng tay, có khả năng nhận diện chuyển động của đầu, tay và ngón tay. Trong mũ bảo hộ, có hai màn hình máy tính nhỏ, mỗi màn hình dành cho một mắt. Việc làm cho môi trường ảo trở nên chân thực hơn là một thách thức đối với các kỹ sư, nhà khoa học và nhà toán học. Phần toán học mà chúng ta tìm hiểu ở đây mới chỉ mở ra cánh cửa dẫn đến lĩnh vực nghiên cứu thú vị này.

Tọa Độ Đồng Nhất Trong Không Gian 3D

Tương tự như trường hợp 2D, chúng ta nói rằng $(x,y,z,1)$ là tọa độ đồng nhất của điểm $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ . Nhìn chung, $(X,Y,Z,H)$ là tọa độ đồng nhất của $(x,y,z)$ nếu $H\neq 0$ và:

(1) $\begin{equation*}x=\frac{X}{H},\quad y=\frac{Y}{H},\quad z=\frac{Z}{H}\end{equation*}$

Mọi bội số khác không của $(x,y,z,1)$ đều tạo thành một tập hợp tọa độ đồng nhất cho $(x,y,z)$ .

Ví dụ: cả hai điểm $(10,-6,14,2)$ và $(-15,9,-21,-3)$ đều là tọa độ đồng nhất của điểm $(5,-3,7)$ .

Ví dụ tiếp theo minh họa các phép biến đổi trong mô hình hóa phân tử khi di chuyển một phân tử thuốc vào một phân tử protein.

Ví dụ 7: Xác định các ma trận $4\times 4$ cho các phép biến đổi sau:

a) Phép quay quanh trục yy một góc $30^\circ$ (Theo quy ước, góc dương là chiều ngược kim đồng hồ khi nhìn từ nửa dương của trục quay, trong trường hợp này là trục $y$ ).

b) Phép tịnh tiến theo vectơ $\mathbf{p}=(-6,4,5).$

Giải:

a) Trước tiên, ta xây dựng ma trận $3\times 3$ cho phép quay. Khi quay, vector $\mathbf{e}_1$ sẽ xoay xuống phía trục $z$ âm, dừng lại tại $(\cos 30^\circ,0,-\sin 30^\circ)=({\sqrt{3}}/{2},0,-.5)$ .