Bài giảng 15: Mô hình cân đối liên ngành của Leontief

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Đại số tuyến tính đóng vai trò quan trọng trong công trình đoạt giải Nobel của Wassily Leontief. Mô hình kinh tế được mô tả trong phần này là nền tảng cho các mô hình phức tạp hơn được sử dụng ở nhiều nơi trên thế giới.

Giả sử nền kinh tế của một quốc gia được chia thành n ngành sản xuất hàng hóa hoặc dịch vụ, và x là một vector sản xuất trong $\mathbb{R}^{n}$ , liệt kê sản lượng của từng ngành trong một năm. Ngoài ra, giả sử có một phần khác của nền kinh tế (gọi là khu vực mở) không sản xuất hàng hóa hoặc dịch vụ mà chỉ tiêu thụ chúng. Gọi $\mathbf{d}$ là vector cầu cuối cùng (hoặc bảng tổng hợp cầu cuối cùng), liệt kê giá trị của hàng hóa và dịch vụ mà khu vực không sản xuất này yêu cầu từ các ngành khác nhau.

Vector $\mathbf{d}$ có thể đại diện cho cầu tiêu dùng, chi tiêu chính phủ, sản lượng dư thừa, xuất khẩu, hoặc các nhu cầu bên ngoài khác.

Khi các ngành sản xuất hàng hóa để đáp ứng nhu cầu tiêu dùng, chính các nhà sản xuất cũng tạo ra một cầu trung gian đối với các nguyên liệu đầu vào cần thiết cho quá trình sản xuất của họ. Sự tương tác giữa các ngành này rất phức tạp, và mối quan hệ giữa cầu cuối cùng và sản lượng không rõ ràng. Leontief đặt ra câu hỏi: Liệu có một mức sản xuất x sao cho tổng lượng hàng hóa sản xuất ra (hay còn gọi là “cung”) cân bằng chính xác với tổng nhu cầu của nền kinh tế không?

Điều này có nghĩa là:

sản lượng sản xuất $\mathbf{x}$ = cầu trung gian + cầu cuối cùng $\mathbf{d}$ (1)

Giả định cơ bản trong mô hình cân đối liên ngành của Leontief là mỗi ngành có một vector tiêu dùng đơn vị trong $\mathbb{R}^{n}$ , biểu thị lượng đầu vào cần thiết để sản xuất một đơn vị sản phẩm của ngành đó. Tất cả đầu vào và đầu ra đều được đo bằng triệu đô la, thay vì đơn vị vật lý như tấn hay giạ. (Giả định rằng giá của hàng hóa và dịch vụ không thay đổi.)

Ví dụ đơn giản, giả sử nền kinh tế có ba ngành:

Sản xuất
Nông nghiệp
Dịch vụ

Gọi $\mathbf{c_{1},\,c_{2}}$ và $\mathbf{c_{3}}$ lần lượt là vector tiêu dùng đơn vị của ba ngành này, như thể hiện trong bảng sau.

Ví dụ 1: Nếu ngành sản xuất quyết định sản xuất 100 đơn vị sản phẩm, lượng hàng hóa tiêu thụ sẽ là bao nhiêu?

Giải: Ta tính

$100\mathbf{c_{1}}=100\left[\begin{matrix}.50\\.20\\.10\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}50\\20\\10\end{matrix}\right]$

Điều này có nghĩa là để sản xuất 100 đơn vị, ngành sản xuất sẽ cần tiêu thụ:

50 đơn vị từ chính ngành sản xuất
20 đơn vị từ ngành nông nghiệp
10 đơn vị từ ngành dịch vụ

Nếu ngành sản xuất sản xuất $x_{1}$ đơn vị, thì $x_{1}\mathbf{c_{1}}$ biểu diễn cầu trung gian của ngành sản xuất, vì lượng hàng hóa trong $x_{1}\mathbf{c_{1}}$ sẽ bị tiêu thụ trong quá trình tạo ra x₁ đơn vị sản phẩm. Tương tự, nếu $x_{2}$ và $x_{3}$ lần lượt là sản lượng kế hoạch của ngành nông nghiệp và dịch vụ, thì $x_{2}\mathbf{c_{2}}$ và $x_{3}\mathbf{c_{3}}$ sẽ biểu diễn cầu trung gian tương ứng.

Tổng cầu trung gian của cả ba ngành là:

cầu trung gian = $x_{1}\mathbf{c_{1}}+x_{2}\mathbf{c_{2}}+x_{3}\mathbf{c_{3}}$

(2) $\begin{equation*}=C\mathbf{x}\end{equation*}$

với $C$ là ma trận tiêu dùng $\begin{bmatrix}\mathbf{c_{1}}&\mathbf{c_{2}}&\mathbf{c_{3}}\\\end{bmatrix}$ , cụ thể là

(3) $\begin{equation*}C=\begin{bmatrix}.50&.40&.20\\.20&.30&.10\\.10&.10&.30\\\end{bmatrix}\end{equation*}$

Phương trình (1) và (2) dẫn đến mô hình của Leontief:

MÔ HÌNH ĐẦU VÀO - ĐẦU RA LEONTIEF (PHƯƠNG TRÌNH SẢN XUẤT)

 (4)

Phương trình (4) cũng có thể được viết như sau

$I\mathbf{x}-C\mathbf{x}=\mathbf{d}$ , hay

(5) $\begin{equation*}(I-C)\mathbf{x}=\mathbf{d}\end{equation*}$

Ví dụ 2: Xét một nền kinh tế có ma trận tiêu dùng CC như sau. Nếu cầu cuối cùng là:

50 đơn vị sản xuất
30 đơn vị nông nghiệp
20 đơn vị dịch vụ

Hãy tìm mức sản xuất x để đáp ứng nhu cầu này.

Giải: Ma trận hệ số trong phương trình (5) là

$I-C=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}.5&.4&.2\\.2&.3&.1\\.1&.1&.3\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}.5&-.4&-.2\\-.2&.7&-.1\\-.1&-.1&.7\\\end{bmatrix}$

Để giải phương trình này, ta thực hiện khử Gauss trên ma trận mở rộng.

$\begin{bmatrix}.5&-.4&-.2&50\\-.2&.7&-.1&30\\-.1&-.1&.7&20\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}5&-4&-2&50\\-2&7&-1&30\\-1&-1&7&20\\\end{bmatrix}\sim\cdots\sim\begin{bmatrix}1&0&0&226\\0&1&0&119\\0&0&1&78\\\end{bmatrix}$

Kết quả là:

Ngành sản xuất cần sản xuất ≈ 226 đơn vị
Ngành nông nghiệp cần sản xuất ≈ 119 đơn vị
Ngành dịch vụ cần sản xuất ≈ 78 đơn vị

Nếu I – C khả nghịch, ta có thể áp dụng ddịnh lý 5, khi thay $A$ bằng $(A-C)$ , và từ phương trình $(A-C)\mathbf{x}=\mathbf{d}$ suy ra $\mathbf{x}=(I-C)^{-1}\mathbf{d}$ .

Định lý dưới đây cho thấy rằng trong hầu hết các trường hợp thực tế, $I-C$ là khả nghịch và vectơ sản xuất $\mathbf{x}$ có ý nghĩa kinh tế, theo nghĩa rằng các phần tử trong $\mathbf{x}$ không âm.

Trong định lý này, thuật ngữ tổng cột (column sum) đề cập đến tổng các phần tử trong một cột của ma trận. Trong điều kiện thông thường, tổng cột của một ma trận tiêu dùng sẽ nhỏ hơn 1, vì một ngành không nên cần nhiều hơn một đơn vị đầu vào để sản xuất một đơn vị đầu ra.

Định lý 11: Cho C là ma trận tiêu dùng của một nền kinh tế và d là cầu cuối cùng. Nếu:
1. C và d có các phần tử không âm
2. Tổng các phần tử trong mỗi cột của C nhỏ hơn 1
Thì:
•  tồn tại
• Vector sản xuất  có các phần tử không âm
• x là nghiệm duy nhất của phương trình .

Tổng các phần tử trong mỗi cột của C nhỏ hơn 1 có nghĩa là mỗi ngành yêu cầu ít hơn một đơn vị đầu vào để sản xuất một đơn vị đầu ra, giúp đảm bảo rằng nền kinh tế có thể vận hành hợp lý mà không tạo ra vòng lặp sản xuất vô hạn.

Thảo luận ở bài tiếp theo sẽ giải thích vì sao định lý này đúng và giới thiệu một cách mới để tính $(I-C)^{-1}$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 15: Mô hình cân đối liên ngành của Leontief

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy