Bài giảng 16: Mô hình cân đối liên ngành của Leontief (tiếp theo)

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Công thức cho $(I-C)^{-1}$

Hãy tưởng tượng rằng nhu cầu được biểu diễn bởi d được đưa đến các ngành công nghiệp vào đầu năm, và các ngành công nghiệp phản ứng bằng cách đặt mức sản xuất của họ là x = d, tức là đúng bằng nhu cầu cuối cùng. Khi các ngành công nghiệp chuẩn bị sản xuất d, họ gửi đơn đặt hàng nguyên liệu thô và các đầu vào khác. Điều này tạo ra một nhu cầu trung gian $C\mathbf{d}$ cho các đầu vào.

Để đáp ứng nhu cầu bổ sung $C\mathbf{d}$ , các ngành công nghiệp sẽ cần thêm các đầu vào với số lượng $C(C\mathbf{d})=C^{2}\mathbf{d}$ . Tất nhiên, điều này tạo ra một vòng nhu cầu trung gian thứ hai, và khi các ngành công nghiệp quyết định sản xuất nhiều hơn để đáp ứng nhu cầu mới này, họ lại tạo ra một vòng nhu cầu thứ ba, cụ thể là $C(C^{2}\mathbf{d})=C^{3}\mathbf{d}$ . Quá trình này tiếp tục diễn ra.

Về lý thuyết, quá trình này có thể tiếp diễn vô hạn, mặc dù trong thực tế, nó không diễn ra theo một chuỗi sự kiện cứng nhắc như vậy. Chúng ta có thể biểu diễn tình huống giả định này như sau:

	Nhu Cầu Cần Được Đáp Ứng	Các Đầu Vào Cần Thiết Để Đáp Ứng Nhu Cầu Này
Nhu cầu cuối cùng	$\mathbf{d}$	$C\mathbf{d}$
Nhu cầu trung gian
Vòng thứ nhất	$C\mathbf{d}$	$C(C\mathbf{d})=C^{2}\mathbf{d}$
Vòng thứ hai	$C^{2}\mathbf{d}$	$C(C^{2}\mathbf{d})=C^{3}\mathbf{d}$
Vòng thứ ba	$C^{3}\mathbf{d}$	$C(C^{3}\mathbf{d})=C^{46}\mathbf{d}$
	$\vdots$	$\vdots$

Mức sản xuất x sẽ đáp ứng tất cả các nhu cầu là

$\mathbf{x}=\mathbf{d}+C\mathbf{d}+C^{2}\mathbf{d}+C^{3}\mathbf{d}+\cdots$

(6) $\begin{equation*}=(I+C+C^{2}+\cdots+C^{m})\mathbf{d}\end{equation*}$

Để hiểu phương trình (6), hãy xem xét đẳng thức đại số sau:

(7) $\begin{equation*}(I-C)(I+C+C^{2}+\cdots+C^{m})=I-C^{m+1}\end{equation*}$

Có thể chứng minh rằng nếu tổng các phần tử trong mỗi cột của $C$ nhỏ hơn 1, thì $I-C$ là khả nghịch, $C^m$ tiến dần đến ma trận không khi $m$ đủ lớn, và $I-C^{m+1}\to I$ . (Điều này tương tự với thực tế rằng nếu một số t dương nhỏ hơn 1, thì $t^m\to 0$ khi $m$ tăng).

Sử dụng phương trình (7), ta có:

(8) $\begin{equation*}(I-C)^{-1}\approx I+C+C^{2}+C^{3}+\cdots+C^{m}\end{equation*}$

khi tổng các cột của C nhỏ hơn 1.

Xấp xỉ này có nghĩa là vế phải có thể được làm gần bằng $(I-C)^{-1}$ bằng cách chọn $m$ đủ lớn. Trong các mô hình đầu vào – đầu ra thực tế, lũy thừa của ma trận tiêu thụ $C$ thường tiến về ma trận không khá nhanh. Do đó, công thức trên thực sự cung cấp một cách thực tế để tính $(I-C)^{-1}$ .

Tương tự, đối với bất kỳ d nào, các vectơ $C^m\mathbf{d}$ cũng nhanh chóng tiến về vectơ không, và phương trình (6) cung cấp một cách thực tế để giải $(I-C)\mathbf{x}=\mathbf{d}.$ Nếu các phần tử trong C và d là không âm, thì phương trình trên cũng chỉ ra rằng các phần tử trong x cũng không âm.

Tầm Quan Trọng Kinh Tế của Các Phần Tử trong $(I-C)^{-1}$

Các phần tử trong $(I-C)^{-1}$ có ý nghĩa quan trọng vì chúng có thể được sử dụng để dự đoán sự thay đổi của mức sản xuất x khi nhu cầu cuối cùng d thay đổi. Thực tế, các phần tử trong cột $j$ của $(I-C)^{-1}$ chính là lượng sản xuất tăng thêm mà các ngành khác nhau cần phải đáp ứng khi nhu cầu cuối cùng đối với sản phẩm từ ngành $j$ tăng thêm 1 đơn vị.

Ghi chú về Số học

Trong bất kỳ bài toán ứng dụng nào (không chỉ trong kinh tế), một phương trình Ax = b luôn có thể được viết lại dưới dạng $(I-C)\mathbf{x}=\mathbf{b}$ , với $C=I-A$ . Nếu hệ phương trình có kích thước lớn và thưa (tức là có nhiều phần tử bằng 0), thì tổng các phần tử tuyệt đối trong mỗi cột của $C$ có thể nhỏ hơn 1. Trong trường hợp này, $C^m\to 0$ . Nếu $C^m$ tiến nhanh về ma trận không, thì các công thức trong phương trình (6) và (8) sẽ cung cấp cách tiếp cận thực tiễn để giải $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ và tìm $A^{-1}$ .