Bài giảng 17: Ứng Dụng ma trận trong Đồ Họa Máy Tính

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Đồ họa máy tính bao gồm các hình ảnh được hiển thị hoặc tạo hiệu ứng động trên màn hình máy tính. Ứng dụng của đồ họa máy tính rất rộng rãi và đang phát triển nhanh chóng. Ví dụ, thiết kế có sự hỗ trợ của máy tính (CAD) là một phần không thể thiếu trong nhiều quy trình kỹ thuật, chẳng hạn như quá trình thiết kế máy bay được đề cập trong bài giới thiệu. Ngành công nghiệp giải trí đã tận dụng đồ họa máy tính một cách ấn tượng nhất, từ các hiệu ứng đặc biệt trong bộ phim The Amazing Spider-Man 2 đến đồ họa của PlayStation 4 và Xbox One.

Hầu hết các phần mềm tương tác trong lĩnh vực kinh doanh và công nghiệp đều sử dụng đồ họa máy tính để hiển thị thông tin trên màn hình và thực hiện các chức năng khác, chẳng hạn như hiển thị dữ liệu dưới dạng đồ họa, xuất bản tài liệu, và tạo slide cho các bài thuyết trình thương mại và giáo dục. Do đó, bất kỳ ai học một ngôn ngữ lập trình máy tính đều dành thời gian để tìm hiểu cách sử dụng đồ họa ít nhất ở mức hai chiều (2D).

Chúng ta sẽ xem xét một số nguyên tắc toán học cơ bản được sử dụng để thao tác và hiển thị hình ảnh đồ họa, chẳng hạn như mô hình khung dây của một chiếc máy bay. Một hình ảnh (hoặc bức tranh) như vậy bao gồm nhiều điểm, các đường nối hoặc đường cong, cùng với thông tin về cách tô màu các vùng khép kín được giới hạn bởi các đường và đường cong. Thông thường, các đường cong được xấp xỉ bằng các đoạn thẳng ngắn, và một hình ảnh được xác định toán học thông qua danh sách các điểm.

Một trong những ký hiệu đồ họa 2D đơn giản nhất là các chữ cái được sử dụng làm nhãn trên màn hình. Một số chữ cái được lưu trữ dưới dạng đối tượng khung dây, trong khi những chữ có phần cong được lưu trữ kèm theo các công thức toán học mô tả đường cong đó.

Ví dụ 1: Chữ cái in hoa “N” trong fhình 1 được xác định bởi tám điểm (đỉnh). Tọa độ của các điểm này có thể được lưu trữ trong một ma trận dữ liệu $D$ .

Ngoài ma trận $D$ , cần phải xác định các đỉnh nào được nối với nhau bằng đường thẳng, nhưng chi tiết này không được đề cập trong ví dụ.

Lý do chính khiến các đối tượng đồ họa được mô tả bằng tập hợp các đoạn thẳng là vì các phép biến đổi tiêu chuẩn trong đồ họa máy tính sẽ ánh xạ các đoạn thẳng thành các đoạn thẳng khác. Khi các đỉnh mô tả một đối tượng đã được biến đổi, hình ảnh của chúng có thể được nối lại bằng các đoạn thẳng thích hợp để tái tạo hình ảnh đầy đủ của đối tượng ban đầu.

Ví dụ 2: Cho $A=\begin{bmatrix}1&.25\\0&1\end{bmatrix}$ , hãy mô tả ảnh hưởng của phép biến đổi trượt (shear transformation) $x\mapsto Ax$ lên chữ N trong ví dụ 1.

Giải: Theo định nghĩa của phép nhân ma trận, các cột của tích $AD$ chứa ảnh của các đỉnh của chữ N.

Các đỉnh sau khi biến đổi được vẽ trong hình 2, cùng với các đoạn thẳng kết nối tương ứng với hình gốc.

Chữ N nghiêng trong fhình 2 trông có vẻ hơi rộng. Để khắc phục, ta thu hẹp chiều rộng bằng một phép biến đổi tỉ lệ ảnh hưởng đến tọa độ $x$ của các điểm.

Ví dụ 3: Tính ma trận của phép biến đổi thực hiện một phép trượt như trong ví dụ 2, sau đó thu nhỏ tất cả các tọa độ $x$ theo hệ số 0.75

Giải: Ma trận nhân tọa độ $x$ của một điểm với 0.75 là

$S=\begin{bmatrix}.75&0\\0&1\\\end{bmatrix}$

Vậy ma trận của phép biến đổi tổng hợp là

$SA=\begin{bmatrix}.75&0\\0&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&.25\\0&1\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}.75&.1875\\0&1\\\end{bmatrix}$

Kết quả của phép biến đổi này được hiển thị trong hình 3.

Hình 3: Biến đổi tổng hợp của N

Toán học trong đồ họa máy tính có liên quan mật thiết đến phép nhân ma trận. Tuy nhiên, phép tịnh tiến (translation) một đối tượng trên màn hình không tương ứng trực tiếp với phép nhân ma trận, vì phép tịnh tiến không phải là một phép biến đổi tuyến tính. Cách tiêu chuẩn để giải quyết vấn đề này là sử dụng một phương pháp gọi là tọa độ đồng nhất (homogeneous coordinates).

Tọa Độ Đồng Nhất

Mỗi điểm $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ có thể được xác định với điểm $(x,y,1)$ trên mặt phẳng trong $\mathbb{R}^3$ , nằm ở độ cao một đơn vị so với mặt phẳng $xy$ . Chúng ta nói rằng $xy$ có tọa độ đồng nhất $(x,y,1)$ . Ví dụ, điểm $(0,0)$ có tọa độ đồng nhất $(0,0,1)$ .

Tọa độ đồng nhất của các điểm không được cộng hay nhân với vô hướng, nhưng có thể được biến đổi thông qua phép nhân với ma trận $3\times 3$ .

Ví dụ 4: Một phép tịnh tiến có dạng $(x,y)\mapsto(x+h,y+k)$ được viết dưới dạng tọa độ đồng nhất là $(x,y,1)\mapsto(x+h,y+k,1)$ . Phép biến đổi này có thể được thực hiện thông qua phép nhân ma trận.

$\begin{bmatrix}1&0&h\\0&1&k\\0&0&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+h\\y+k\\1\end{bmatrix}$

Ví dụ 5: Mọi phép biến đổi tuyến tính trên $\mathbb{R}^2$ đều được biểu diễn dưới dạng tọa độ đồng nhất bằng một ma trận khối có dạng $\begin{bmatrix}A&0\\0&1\\\end{bmatrix}$ , trong đó $A$ là một ma trận $2\times 2$ . Một số ví dụ điển hình bao gồm: