Bài giảng 20: Các Không Gian Con của $\mathbb{R}^n$

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Phần này tập trung vào các tập hợp quan trọng của các vector trong $\mathbb{R}^n$ được gọi là không gian con. Thông thường, các không gian con xuất hiện liên quan đến một ma trận $A$ , và chúng cung cấp thông tin hữu ích về phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ .

Định nghĩa

Một không gian con của  là bất kỳ tập hợp  nào trong  thỏa mãn ba tính chất sau:
a. Vector .
b. Với mọi , thì .
c. Với mọi  và mọi số vô hướng , thì .

Nói cách khác, một không gian con phải được bảo toàn dưới phép cộng vector và phép nhân vô hướng. Trong các ví dụ tiếp theo, bạn sẽ thấy rằng hầu hết các tập hợp vector được đề cập trong các bài trước đều là không gian con. Ví dụ, một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ là một cách trực quan tiêu chuẩn để hình dung về không gian con, như minh họa trong Ví dụ 1. Xem hình 1.

Hình 1: Span $\begin{Bmatrix}\mathbf{v_{1},v_{2}}\end{Bmatrix}$ là một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.

Ví dụ 1: Nếu $\mathbf{v_{1}}$ và $\mathbf{v_{2}}$ thuộc $\mathbb{R}^n$ và $H=\text{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{v_{1},v_{2}}\end{Bmatrix}$ , thì $H$ là một không gian con của $\mathbb{R}^n$ .

Để kiểm chứng điều này, trước hết ta thấy rằng vector không nằm trong $H$ , vì $0\mathbf{v}_1+0\mathbf{v}_2$ là một tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ . Bây giờ, xét hai vector bất kỳ trong $H$ .

$\mathbf{u}=s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2$ và $\mathbf{v}=t_1\mathbf{v}_1+t_2\mathbf{v}_2$

Khi đó:

$\mathbf{u}+\mathbf{v}=(s_1+t_1)\mathbf{v}_1+(s_2+t_2)\mathbf{v}_2$

Điều này cho thấy $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ cũng là một tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ , do đó thuộc $H$ .

Tương tự, với mọi vô hướng $c$ , ta có $c\mathbf{u}=c(s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2)=(c s_1)\mathbf{v}_1+(c s_2)\mathbf{v}_2$ . Do đó, $c\mathbf{u}$ cũng thuộc $H$ .

Nếu $\mathbf{v}_1$ khác vector không và $\mathbf{v}_2$ là một bội của $\mathbf{v}_1$ , thì tập hợp $\begin{Bmatrix}\mathbf{{v}_1,{v}_2}\end{Bmatrix}$ chỉ sinh ra một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Vì vậy, một đường thẳng đi qua gốc tọa độ cũng là một ví dụ về không gian con.

Ví dụ 2: Một đường thẳng $L$ không đi qua gốc tọa độ không phải là một không gian con, vì nó không chứa gốc tọa độ, như yêu cầu trong định nghĩa. Hơn nữa, như trong hình 2, $L$ cũng không đóng dưới phép cộng hoặc nhân vô hướng.

Ví dụ 3: Với các vector $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\in\mathbb{R}^n,$ , tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p$ là một không gian con của $\mathbb{R}^n,$ . Việc kiểm chứng điều này tương tự như trong ví dụ 1. Từ bây giờ, ta sẽ gọi Span $\begin{Bmatrix}\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\end{Bmatrix}$ là không gian con sinh ra bởi $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p$ .

Lưu ý rằng $\mathbb{R}^n$ cũng là một không gian con của chính nó vì nó thỏa mãn cả ba điều kiện trên. Một không gian con đặc biệt khác là tập hợp chỉ chứa vector không trong $\mathbb{R}^n$ , được gọi là không gian con không (zero subspace), và nó cũng thỏa mãn các điều kiện để là một không gian con.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 20: Các Không Gian Con của

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy

Bài giảng 20: Các Không Gian Con của $\mathbb{R}^n$