Bài giảng 21: Không gian cột và không gian null của ma trận

Định nghĩa

Không gian cột của ma trận  là tập hợp Col A gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của các cột của .

Nếu $A=[\mathbf{a}_1\quad\dots\quad\mathbf{a}_n]$ với các cột thuộc $\mathbb{R}^m$ , thì $\text{Col}\:A$ chính là không gian sinh Span $\begin{Bmatrix}\mathbf{a}_{1},\cdots,\mathbf{a}_{n}\end{Bmatrix}$ . Ví dụ 4 cho thấy rằng không gian cột của một ma trận $m\times n$ là một không gian con của $\mathbb{R}^m$ . Lưu ý rằng $\text{Col}\:A$ bằng $\mathbb{R}^m$ chỉ khi các cột của $A$ sinh ra toàn bộ $\mathbb{R}^m$ . Ngược lại, $\text{Col}\:A$ chỉ là một phần của $\mathbb{R}^m$ .

Ví dụ 4: Cho ma trận $A=\begin{bmatrix}1&-3&-4\\-4&6&-2\\-3&7&6\\\end{bmatrix}$ và vector $\mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\3\\-4\end{bmatrix}$ . Xác định xem $\mathbf{b}$ có thuộc không gian cột của $A$ hay không.

Giải: Vector $\mathbf{b}$ là một tổ hợp tuyến tính của các cột của $A$ nếu và chỉ nếu $\mathbf{b}$ có thể được viết dưới dạng $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ cho một số $\mathbf{x}$ , tức là khi hệ phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có nghiệm. Khi thực hiện phép khử Gauss trên ma trận mở rộng $\begin{bmatrix}A&\mathbf{b}\\\end{bmatrix}$ ,

$\begin{bmatrix}1&-3&-4&3\\-4&6&-2&3\\-3&7&6&-4\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&-3&-4&3\\0&-6&-18&15\\0&-2&-6&5\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&-3&-4&3\\0&-6&-18&15\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}$

ta kết luận rằng phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có nghiệm, do đó $\mathbf{b}$ thuộc $\text{Col}\:A$ .

Lời giải của ví dụ 4 cho thấy rằng khi một hệ phương trình tuyến tính được viết dưới dạng $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ , không gian cột của $A$ chính là tập hợp tất cả các vector $\mathbf{b}$ mà hệ có nghiệm.

Định nghĩa

Không gian null của ma trận  là tập hợp  gồm tất cả các nghiệm của phương trình thuần nhất .

Khi $A$ có $n$ cột, các nghiệm của phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ thuộc $\mathbb{R}^n$ , và không gian null của $A$ là một tập con của $\mathbb{R}^n$ . Thực tế, $\text{Nul}\:A$ có các tính chất của một không gian con của $\mathbb{R}^n$ .

Định lý 12

Không gian null của một ma trận  kích thước  là một không gian con của . Tương đương, tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình thuần nhất , bao gồm  phương trình tuyến tính thuần nhất với  ẩn, là một không gian con của .

Chứng minh

Véc-tơ không là một phần tử của $\text{Nul}\:A$ (vì $A\mathbf{0}=\mathbf{0}$ ). Để chứng minh rằng $\text{Nul}\:A$ thỏa mãn hai tính chất còn lại của một không gian con, lấy bất kỳ $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ trong $\text{Nul}\:A$ . Nghĩa là giả sử rằng $A\mathbf{u}=\mathbf{0}$ và $A\mathbf{v}=\mathbf{0}$ . Sau đó, theo tính chất của phép nhân ma trận, ta có:

$A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}=0+0=0.$

Do đó, $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ cũng là một nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ , nghĩa là $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in\text{Nul}\:A$ . Tương tự, với mọi số vô hướng $c$ , ta có: $A(c\mathbf{u})=c(A\mathbf{u})=c(\mathbf{0})=\mathbf{0}$ , điều này cũng cho thấy rằng $c\mathbf{u}\in\text{Nul}\:A$ .

Để kiểm tra xem một véc-tơ $\mathbf{v}$ có thuộc $\text{Nul}\:A$ hay không, chỉ cần tính $A\mathbf{v}$ và kiểm tra xem kết quả có phải là véc-tơ không hay không. Vì $\text{Nul}\:A$ được mô tả bởi một điều kiện mà ta phải kiểm tra với từng véc-tơ, nên ta nói rằng không gian null được định nghĩa một cách tường minh. Ngược lại, không gian cột $\text{Col}\:A$ được định nghĩa một cách rõ ràng, vì các véc-tơ trong $\text{Col}\:A$ có thể được xây dựng từ các cột của $A$ bằng cách kết hợp tuyến tính.

Để xây dựng một mô tả rõ ràng của $\text{Nul}\:A$ , ta giải phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ và viết nghiệm dưới dạng tham số véc-tơ.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 21: Không gian cột và không gian null của ma trận

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy