Bài giảng 22: Cơ sở của một không gian con

Vì một không gian con thường chứa vô số véc-tơ, một số bài toán liên quan đến không gian con được xử lý tốt nhất bằng cách làm việc với một tập hợp hữu hạn nhỏ các véc-tơ sinh ra không gian con đó. Tập hợp này càng nhỏ càng tốt. Có thể chứng minh rằng tập hợp sinh nhỏ nhất phải là một tập hợp độc lập tuyến tính.

Định nghĩa

Một cơ sở của không gian con  là một tập hợp các véc-tơ độc lập tuyến tính trong  đồng thời sinh ra .

Ví dụ 5: Các cột của một ma trận vuông khả nghịch $n\times n$ tạo thành một cơ sở của toàn bộ $\mathbb{R}^n$ vì chúng độc lập tuyến tính và sinh ra $\mathbb{R}^n$ , theo Định lý Ma trận Khả nghịch.

Một ma trận như vậy là ma trận đơn vị InI_n. Các cột của ma trận này được ký hiệu là $\mathbf{e}_1,...,\mathbf{e}_n:$

$\mathbf{e}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix},\quad\mathbf{e}_2=\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix},\quad...,\mathbf{e}_n=\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\\1\end{bmatrix}$

Tập hợp $\begin{Bmatrix}\mathbf{e}_1,...,\mathbf{e}_n\end{Bmatrix}$ được gọi là cơ sở tiêu chuẩn của $\mathbb{R}^n$ . Xem hình 3.

Hình 3: Cơ sở tiêu chuẩn của $\mathbb{R}^3$

Ví dụ tiếp theo cho thấy rằng quy trình tiêu chuẩn để viết tập nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ dưới dạng véc-tơ tham số thực chất giúp xác định một cơ sở của $\text{Nul}\:A$ .

Ví dụ 6: Tìm một cơ sở cho không gian null của ma trận

$A=\begin{bmatrix}-3&6&-1&1&-7\\1&-2&2&3&-1\\2&-4&5&8&-4\\\end{bmatrix}$

Giải: Trước tiên, viết nghiệm tổng quát của phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ dưới dạng véc-tơ tham số.

$\begin{matrix}\begin{bmatrix}A&\mathbf{0}\\\end{bmatrix}\sim&\begin{bmatrix}1&-2&0&-1&3&0\\0&0&1&2&-2&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{bmatrix},&\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}\quad-x_{4}+3x_{5}&=0\\x_{3}+2x_{4}-2x_{5}&=0\\0&=0\\\end{matrix}\\\end{matrix}$

Giả sử nghiệm $x_1=2x_2+x_4-3x_5,\quad x_3=-2x_4+2x_5,$ với $x_2,\,x_4$ và $x_5$ tự do.

(1) $\begin{equation*}=x_{2}\mathbf{u}+x_{4}\mathbf{v}+x_{5}\mathbf{w}\end{equation*}$

Phương trình (1) cho thấy, không gian null của $A$ chính là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các véc-tơ $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ và $\mathbf{w}$ : $\text{Nul}\:A=\text{Span}\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\}.$

Hơn nữa, các véc-tơ này độc lập tuyến tính, vì phương trình $0=x_2\mathbf{u}+x_4\mathbf{v}+x_5\mathbf{w}$ chỉ đúng khi $x_2=x_4=x_5=0$ . Do đó, tập hợp $\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\end{Bmatrix}$ tạo thành một cơ sở của $\text{Nul}\:A$ .

Việc tìm cơ sở cho không gian cột của một ma trận thực tế dễ hơn tìm cơ sở của không gian null, nhưng phương pháp này cần một số giải thích. Hãy bắt đầu với một trường hợp đơn giản.

Ví dụ 7: Tìm cơ sở cho không gian cột của ma trận

$B=\begin{bmatrix}1&0&-3&5&0\\0&1&2&-1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}$

Giải: Gọi các cột của $B$ là $\mathbf{b}_1,...,\mathbf{b}_5$ và ta thấy rằng:

$\mathbf{b}_3=-3\mathbf{b}_1+2\mathbf{b}_2,\quad\mathbf{b}_4=5\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2.$

Vì $\mathbf{b}_3$ và $\mathbf{b}_46$ có thể được biểu diễn bằng các cột khác, bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của $\mathbf{b}_1,...,\mathbf{b}_5$ thực chất cũng chỉ là tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{b}_1,\:\mathbf{b}_2$ và $\mathbf{b}_5$ . Thật vậy, nếu $\mathbf{v}$ là một vectơ bất kỳ trong không gian cột của $B$ , tức là

$\mathbf{v}=c_1\mathbf{b}_1+c_2\mathbf{b}_2+c_3\mathbf{b}_3+c_4\mathbf{b}_4+c_5\mathbf{b}_5$

thì thay thế $\mathbf{b}_3$ và $\mathbf{b}_4$ theo các mối quan hệ đã biết, ta có thể viết lại $\mathbf{v}$ dưới dạng:

$\mathbf{v}=c_1\mathbf{b}_1+c_2\mathbf{b}_2+c_3(-3\mathbf{b}_1+2\mathbf{b}_2)+c_4(5\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2)+c_5\mathbf{b}_5$

đây chính là một tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{b}_1,\:\mathbf{b}_2$ và $\mathbf{b}_5$ . Do đó, tập hợp $\begin{Bmatrix}\mathbf{b}_1,\,\mathbf{b}_2,\,\mathbf{b}_5\end{Bmatrix}$ sinh ra không gian cột của $B$ . Ngoài ra, $\mathbf{b}_1,\:\mathbf{b}_2$ và $\mathbf{b}_5$ là độc lập tuyến tính vì chúng là các cột từ một ma trận đơn vị. Vì vậy, các cột trục của $B$ tạo thành một cơ sở cho không gian cột của $B$ .

Ma trận $B$ trong ví dụ 7 là dạng bậc thang thu gọn. Để xử lý một ma trận tổng quát $A$ , hãy nhớ rằng các quan hệ phụ thuộc tuyến tính giữa các cột của $A$ có thể được biểu diễn dưới dạng phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ với một số $\mathbf{x}$ . (Nếu một số cột không liên quan đến một quan hệ phụ thuộc tuyến tính cụ thể, thì các hệ số tương ứng trong $\mathbf{x}$ sẽ bằng 0.)

Khi $A$ được biến đổi hàng về dạng bậc thang $B$ , các cột của ma trận thay đổi đáng kể, nhưng hai hệ phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ và $B\mathbf{x}=\mathbf{0}$ vẫn có cùng một tập nghiệm. Điều này có nghĩa là các cột của $A$ có cùng một quan hệ phụ thuộc tuyến tính như các cột của $B$ .

Ví dụ 8: Tìm cơ sở cho không gian cột của ma trận

$A=\begin{bmatrix}\mathbf{a_{1}}&\mathbf{a_{2}}&\cdots&\mathbf{a_{5}}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&3&3&2&-9\\-2&-2&2&-8&2\\2&3&0&7&1\\3&4&-1&11&-8\\\end{bmatrix}$

Giải: Từ Ví dụ 7, các cột trụ của $A$ là cột 1, 2 và 5. Vì phép biến đổi hàng không làm thay đổi mối quan hệ phụ thuộc tuyến tính giữa các cột của ma trận, ta có:

$\mathbf{a}_3=-3\mathbf{a}_1+2\mathbf{a}_2,\quad\mathbf{a}_4=5\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2.$

Do đó, $\mathbf{a}_3$ và $\mathbf{a}_4$ không cần thiết để sinh ra không gian cột của $A$ . Hơn nữa, vì tập ${\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_5}$ là độc lập tuyến tính, tập ${\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_5}$ cũng độc lập tuyến tính.

Vậy, tập hợp ${\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_5}$ tạo thành một cơ sở của $\text{Col}\:A$ .

Lập luận trong ví dụ 8 có thể được sử dụng để chứng minh định lý sau.

Định lý 13

Các cột chính của một ma trận  tạo thành một cơ sở cho không gian cột của .

Lưu ý: Hãy sử dụng các cột chính của chính ma trận $A$ để tìm cơ sở của không gian cột $\text{Col}\:A$ . Các cột của ma trận bậc thang $B$ thường không nằm trong không gian cột của $A$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 22: Cơ sở của một không gian con

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy