Bài giảng 24: Số Chiều của Một Không Gian Con

Có thể chứng minh rằng nếu một không gian con $H$ có một cơ sở gồm $p$ vectơ, thì mọi cơ sở của $H$ cũng phải bao gồm đúng $p$ vectơ. Do đó, định nghĩa sau có ý nghĩa.

Định nghĩa

Số chiều của một không gian con khác không , ký hiệu là , là số lượng vectơ trong bất kỳ cơ sở nào của . Số chiều của không gian con không  được định nghĩa là bằng 0.

Không gian $\mathbb{R}^n$ có số chiều là $n$ . Mọi cơ sở của $\mathbb{R}^n$ đều bao gồm $n$ vectơ. Một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ trong $\mathbb{R}^3$ có số chiều là 2, và một đường thẳng đi qua gốc tọa độ có số chiều là 1.

Ví dụ 2: Nhớ lại rằng không gian null của ma trận $A$ trong ví dụ 6 ở bài trước có một cơ sở gồm 3 vectơ. Do đó, số chiều của $\text{Nul}\:A$ trong trường hợp này là 3. Hãy quan sát cách mỗi vectơ trong cơ sở tương ứng với một biến tự do trong phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ . Phương pháp xây dựng của chúng ta luôn tạo ra một cơ sở theo cách này. Vì vậy, để tìm số chiều của $\text{Nul}\:A$ , chỉ cần xác định và đếm số lượng biến tự do trong $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ .

Định nghĩa

Hạng của một ma trận , ký hiệu là , là số chiều của không gian cột của .

Vì các cột trụ của $A$ tạo thành một cơ sở cho $\text{Col}\:A$ , nên hạng của $A$ chính là số lượng cột trụ trong $A$ .

Ví dụ 3: Xác định hạng của ma trận

$A=\begin{bmatrix}2&5&-3&-4&8\\4&7&-4&-3&9\\6&9&-5&2&4\\0&-9&6&5&-6\\\end{bmatrix}$

Giải: Biến đổi $A$ về dạng bậc thang:

Ma trận $A$ có 3 cột trụ, do đó $\text{rank}\:A=3.$

Quá trình biến đổi hàng trong ví dụ 3 cho thấy có hai biến tự do trong phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ , bởi vì hai trong số năm cột của $A$ không phải là cột trụ. (Các cột không phải cột trụ tương ứng với các biến tự do trong $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ .)

Vì tổng số cột trụ và số cột không phải cột trụ đúng bằng tổng số cột của $A$ , nên số chiều của $\text{Col}\:A$ và $\text{Nul}\:A$ có một mối liên hệ quan trọng.

Định lý 14 - Định lý về Hạng

Nếu một ma trận  có n cột, thì: .

Định lý sau đây rất quan trọng trong các ứng dụng và sẽ cần thiết trong các bài tiếp theo. Định lý này có vẻ hợp lý nếu ta xem một không gian con có số chiều $p$ như là đẳng cấu với $\mathbb{R}^p$ . Định lý về Ma trận Khả nghịch (Invertible Matrix Theorem) cho thấy rằng $p$ vector trong $\mathbb{R}^p$ là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu chúng cũng sinh ra $\mathbb{R}^p$ .

Định lý 15 - Định lý về Cơ sở

Cho H là một không gian con có số chiều  trong :
• Bất kỳ tập hợp nào gồm đúng p phần tử trong  mà độc lập tuyến tính thì tự động là một cơ sở của .
• Ngoài ra, bất kỳ tập hợp nào gồm  phần tử trong  mà sinh ra  thì cũng tự động là một cơ sở của .

Hạng và Định lý về Ma trận Khả nghịch

Các khái niệm không gian vector liên quan đến ma trận cung cấp thêm một số mệnh đề mở rộng cho Định lý về Ma trận Khả nghịch. Chúng được trình bày dưới đây để bổ sung vào các mệnh đề trong định lý gốc trong bài giảng 9.

Định lý về Ma trận Khả nghịch (Tiếp theo)

Cho  là một ma trận n×nn \times n. Khi đó, các mệnh đề sau đây đều tương đương với mệnh đề rằng  là một ma trận khả nghịch:

m. Các cột của  tạo thành một cơ sở của .
n. .
o. .
p. .
q. .

Chứng minh

Mệnh đề (m) tương đương về mặt logic với các mệnh đề (e) và (h) liên quan đến tính độc lập tuyến tính và việc sinh ra không gian. Bốn mệnh đề còn lại được liên kết với các mệnh đề trước trong định lý thông qua chuỗi các suy luận đơn giản như sau:

$(g)\Rightarrow(n)\Rightarrow(o)\Rightarrow(p)\Rightarrow(q)\Rightarrow(d)$

Mệnh đề (g), phát biểu rằng phương trình có ít nhất một nghiệm với mọi , dẫn đến mệnh đề (n), vì tập hợp các vector cột của chính là tập hợp tất cả các vector bb sao cho phương trình có nghiệm.
- Các suy luận $(n)\Rightarrow(o)\Rightarrow(p)$ theo sau từ định nghĩa về số chiều và hạng. Nếu $\text{rank}\:A=n$ , tức là bằng số cột của $A$ , thì theo Định lý về Hạng, ta có $\dim\text{Nul}\:A=0$ , dẫn đến $\text{Nul}\:A=\{0\}$ .
- Do đó, $(p)\Rightarrow(q)$ . Ngoài ra, mệnh đề (q) khẳng định rằng phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ chỉ có nghiệm tầm thường $\mathbf{x}=\mathbf{b}$ , chính là mệnh đề (d).
Vì các mệnh đề (d) và (g) đã được biết là tương đương với điều kiện $A$ khả nghịch, nên chứng minh hoàn tất.

Ghi chú Số học

Nhiều thuật toán được thảo luận trong tài liệu này rất hữu ích để hiểu các khái niệm và thực hiện các phép tính đơn giản bằng tay. Tuy nhiên, các thuật toán này thường không phù hợp với các bài toán quy mô lớn trong thực tế.

Xác định hạng của ma trận là một ví dụ điển hình. Thoạt nhìn, có vẻ dễ dàng để biến đổi một ma trận về dạng bậc thang và đếm số cột chính. Nhưng trừ khi các phép tính số học được thực hiện chính xác trên một ma trận có các phần tử được xác định chính xác, các phép biến đổi hàng có thể làm thay đổi hạng thực tế của ma trận.

Chẳng hạn, nếu giá trị của $x$ trong ma trận $\begin{bmatrix}5&7\\5&x\\\end{bmatrix}$ không được lưu chính xác là 7 trong máy tính, thì hạng của ma trận có thể là 1 hoặc 2, tùy thuộc vào việc máy tính xử lý $x-7$ có bằng 0 hay không.

Trong các ứng dụng thực tế, hạng hiệu quả của một ma trận $A$ thường được xác định bằng cách sử dụng phép phân tích giá trị kỳ dị (Singular Value Decomposition – SVD) của $A$ , nội dung này sẽ được thảo luận trong các bài tiếp theo.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 24: Số Chiều của Một Không Gian Con

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy