Bài giảng 1: Đại số Ma trận

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Ví dụ mở đầu

Mô Hình Máy Tính Trong Thiết Kế Máy Bay

Để thiết kế thế hệ tiếp theo của máy bay thương mại và quân sự, các kỹ sư tại Boeing’s Phantom Works sử dụng mô hình 3D và động lực học chất lỏng tính toán (CFD – Computational Fluid Dynamics). Họ nghiên cứu dòng không khí xung quanh một chiếc máy bay ảo để trả lời các câu hỏi quan trọng trong thiết kế trước khi tạo ra các mô hình vật lý. Điều này đã giúp giảm đáng kể thời gian thiết kế và chi phí – và đại số tuyến tính đóng vai trò quan trọng trong quá trình này.

Chiếc máy bay ảo bắt đầu dưới dạng một mô hình khung dây toán học (wire-frame) chỉ tồn tại trong bộ nhớ máy tính và trên màn hình hiển thị đồ họa.

Mô hình toán học này tổ chức và ảnh hưởng đến từng bước trong thiết kế và chế tạo máy bay – bao gồm cả phần ngoại thất và nội thất. Phân tích CFD liên quan đến bề mặt bên ngoài của máy bay.

Mặc dù lớp vỏ hoàn thiện của máy bay có vẻ trơn nhẵn, nhưng hình học của bề mặt này lại rất phức tạp. Ngoài cánh và thân máy bay, một chiếc máy bay còn có nacelles (vỏ động cơ), cánh đuôi ngang, cánh tà (slats), cánh nâng (flaps), và cánh liệng (ailerons). Cách dòng không khí di chuyển xung quanh các bộ phận này quyết định cách máy bay hoạt động trên bầu trời. Các phương trình mô tả dòng không khí rất phức tạp và phải tính đến luồng khí hút vào động cơ, khí thải từ động cơ, và luồng khí nhiễu động phía sau cánh máy bay. Để nghiên cứu dòng không khí này, các kỹ sư cần một mô tả chi tiết về bề mặt máy bay.

Máy tính tạo ra mô hình bề mặt bằng cách chồng một lưới ba chiều gồm các “hộp” lên mô hình khung dây ban đầu. Các hộp trong lưới này hoặc nằm hoàn toàn bên trong, hoàn toàn bên ngoài, hoặc cắt ngang bề mặt máy bay. Máy tính chọn các hộp cắt ngang bề mặt và chia nhỏ chúng, chỉ giữ lại các hộp nhỏ hơn vẫn còn giao với bề mặt máy bay. Quá trình chia nhỏ này được lặp lại cho đến khi lưới trở nên cực kỳ mịn. Một lưới thông thường có thể chứa hơn 400.000 hộp.

Quá trình tìm dòng không khí xung quanh máy bay liên quan đến việc lặp lại nhiều lần việc giải một hệ phương trình tuyến tính dưới dạng Ax = b, trong đó có thể chứa tới 2 triệu phương trình và biến số. Vector b thay đổi liên tục, dựa trên dữ liệu từ lưới và nghiệm của các phương trình trước đó. Ngay cả khi sử dụng những siêu máy tính thương mại nhanh nhất, nhóm Phantom Works vẫn có thể mất từ vài giờ đến vài ngày để thiết lập và giải một bài toán dòng không khí duy nhất. Sau khi nhóm phân tích kết quả, họ có thể điều chỉnh nhỏ bề mặt máy bay và bắt đầu lại toàn bộ quá trình. Hàng ngàn lần chạy mô phỏng CFD có thể được yêu cầu.

Bài này giới thiệu hai khái niệm quan trọng hỗ trợ giải các hệ phương trình quy mô lớn như vậy:

• Ma trận phân hoạch (Partitioned matrices): Một hệ phương trình CFD điển hình có ma trận hệ số “thưa” với phần lớn các phần tử bằng 0. Việc phân nhóm các biến đúng cách sẽ tạo ra ma trận phân hoạch với nhiều khối ma trận bằng 0. Bài tiếp theo giới thiệu loại ma trận này và mô tả một số ứng dụng của chúng.
• Phân tích ma trận (Matrix factorizations): Ngay cả khi đã sử dụng ma trận phân hoạch, hệ phương trình vẫn rất phức tạp. Để đơn giản hóa thêm các phép tính, phần mềm CFD tại Boeing sử dụng một phương pháp gọi là phân tích LU (LU factorization) của ma trận hệ số. Bài sau sẽ thảo luận về phân tích LU và các phương pháp phân tích ma trận khác. Các chi tiết bổ sung về phân tích ma trận sẽ xuất hiện ở nhiều phần sau trong tài liệu này.

Để phân tích một nghiệm của hệ dòng không khí, các kỹ sư muốn trực quan hóa dòng không khí trên bề mặt máy bay. Họ sử dụng đồ họa máy tính, và đại số tuyến tính chính là động cơ xử lý đồ họa này. Mô hình khung dây của bề mặt máy bay được lưu trữ dưới dạng dữ liệu trong nhiều ma trận. Sau khi hình ảnh được dựng trên màn hình máy tính, các kỹ sư có thể:

• Thay đổi tỷ lệ
• Phóng to hoặc thu nhỏ các vùng nhỏ
• Xoay hình ảnh để quan sát các phần bị khuất

TU-Delft và Air France-KLM đang nghiên cứu mô hình máy bay Flying-V do tiềm năng tiết kiệm nhiên liệu đáng kể của nó.

Mỗi thao tác trên đều được thực hiện bằng các phép nhân ma trận thích hợp. Bài sau chúng ta sẽ giải thích các ý tưởng cơ bản này.

Khả năng phân tích và giải phương trình của chúng ta sẽ được cải thiện đáng kể khi có thể thực hiện các phép toán đại số với ma trận. Hơn nữa, các định nghĩa và định lý trong các bài tiếp theo sẽ cung cấp những công cụ cơ bản để xử lý nhiều ứng dụng của đại số tuyến tính liên quan đến hai hoặc nhiều ma trận.