Bài giảng 3: Phép nhân ma trận

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Khi một ma trận $B$ nhân với một vector $\mathbf{x}$ , nó biến đổi $\mathbf{x}$ thành vector $B\mathbf{x}$ . Nếu vector này tiếp tục được nhân với một ma trận $A$ , ta thu được vector $A(B\mathbf{x})$ . Xem Hình 2.

Hình 2: Nhân với $B$ và sau đó nhân với $A$

Như vậy, $A(B\mathbf{x})$ được tạo ra từ $B\mathbf{x}$ thông qua một tổ hợp của các ánh xạ. Mục tiêu của chúng ta là biểu diễn ánh xạ hợp này bằng phép nhân với một ma trận duy nhất, ký hiệu là $AB$ , sao cho

(1) $\begin{equation*}A(B\mathbf{x})=(AB)\mathbf{x}\end{equation*}$

Xem hình 3.

Nếu $A$ có kích thước $m\times n$ , $B$ có kích thước $n\times p$ , và $\mathbf{x}$ thuộc $\mathbb{R}^p$ , ký hiệu các cột của $B$ là $\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_p$ và các phần tử trong $\mathbf{x}$ là $x_1,\dots,x_p$ . Khi đó:

$B\mathbf{x}=x_1\mathbf{b}_1+\dots+x_p\mathbf{b}_p$

Do tính tuyến tính của phép nhân với $A$ , ta có:

$A(B\mathbf{x})=A(x_1\mathbf{b}_1)+\dots+A(x_p\mathbf{b}_p)$

$=x_1A\mathbf{b}_1+\dots+x_p A\mathbf{b}_p$

Vector $A(B\mathbf{x})$ là một tổ hợp tuyến tính của các vector $=A\mathbf{b}_1,...,A\mathbf{b}_p$ , sử dụng các phần tử trong $\mathbf{x}$ làm hệ số. Trong ký hiệu ma trận, tổ hợp tuyến tính này được viết là:

$A(B\mathbf{x})=\begin{bmatrix}A\mathbf{b}_1&A\mathbf{b}_2&\cdots&A\mathbf{b}_p\\\end{bmatrix}\mathbf{x}$

Như vậy, phép nhân với ma trận $\begin{bmatrix}A\mathbf{b}_1&A\mathbf{b}_2&\cdots&A\mathbf{b}_p\\\end{bmatrix}$ biến đổi $\mathbf{x}$ thành $A(B\mathbf{x})$ . Chúng ta đã tìm thấy ma trận mong muốn!

Định nghĩa

Nếu  là ma trận , và  là ma trận  với các cột , thì tích  là ma trận  có các cột là . Tức là:

Định nghĩa này làm cho phương trình trên đúng với mọi $\mathbf{x}$ trong $\mathbb{R}^p$ . Phương trình trên chứng minh rằng ánh xạ hợp trong hình 3 là một phép biến đổi tuyến tính và ma trận chuẩn của nó là $AB$ . Như vậy, phép nhân ma trận tương ứng với sự kết hợp của các phép biến đổi tuyến tính.

Ví dụ 3: Tính tích $AB$ , trong đó: $A=\begin{bmatrix}2&3\\1&-5\\\end{bmatrix}$ và $B=\begin{bmatrix}4&3&6\\1&-2&3\\\end{bmatrix}$ .

Giải: Viết $B=\begin{bmatrix}\mathbf{b_{1}}&\mathbf{b_{2}}&\mathbf{b_{3}}\\\end{bmatrix}$ và tính:

$A\mathbf{b_{1}}=\begin{bmatrix}2&3\\1&-5\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix},\:A\mathbf{b_{2}}=\begin{bmatrix}2&3\\1&-5\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\-2\end{bmatrix},\:A\mathbf{b_{3}}=\begin{bmatrix}2&3\\1&-5\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}6\\3\end{bmatrix},\:$

$A\mathbf{b_{1}}=\begin{bmatrix}11\\-1\end{bmatrix},\qquad A\mathbf{b_{2}}=\begin{bmatrix}0\\13\end{bmatrix},\qquad A\mathbf{b_{3}}=\begin{bmatrix}21\\-9\end{bmatrix}$

$AB=A\begin{bmatrix}\mathbf{b_{1}}&\mathbf{b_{2}}&\mathbf{b_{3}}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}11&0&21\\-1&13&-9\\\end{bmatrix}$

Lưu ý rằng cột thứ nhất của $AB$ là $A\mathbf{b_{1}}$ ; cột này là một tổ hợp tuyến tính của các cột của $A$ với các phần tử trong $\mathbf{b_{1}}$ làm hệ số. Điều tương tự cũng đúng cho mỗi cột của $AB$ :

Mỗi cột của  là một tổ hợp tuyến tính của các cột của  với các hệ số lấy từ cột tương ứng của .

Rõ ràng, số cột của $A$ phải bằng số hàng của $B$ để tổ hợp tuyến tính như $A\mathbf{b_{1}}$ có thể được định nghĩa. Ngoài ra, định nghĩa của $AB$ cho thấy rằng $AB$ có cùng số hàng với $A$ và cùng số cột với $B$ .

Ví dụ 4: Nếu $A$ là một ma trận $3\times 5$ và $B$ b là một ma trận $5\times 2$ , kích thước của $AB$ và $BA$ là bao nhiêu, nếu chúng được xác định?

Giải: Vì $A$ có 5 cột và $B$ có 5 hàng, tích $AB$ được xác định và là một ma trận $3\times 2$ :

Tích $BA$ không được xác định vì 2 cột của $B$ không khớp với 3 hàng của $A$ .

Định nghĩa của $AB$ quan trọng đối với công việc lý thuyết và ứng dụng, nhưng quy tắc sau đây cung cấp một phương pháp hiệu quả hơn để tính toán từng phần tử riêng lẻ trong $AB$ khi làm thủ công các bài toán dễ.

Quy tắc hàng – cột để tính 

Nếu tích  được xác định, thì phần tử tại hàng  và cột  của  là tổng các tích của các phần tử tương ứng từ hàng  của  và cột  của . Nếu  ký hiệu phần tử  trong , và nếu  là một ma trận , thì:

Để kiểm chứng quy tắc này, ký hiệu $B=\begin{bmatrix}\mathbf{b_{1}}&\cdots&\mathbf{b_{p}}\\\end{bmatrix}$ . Cột $j$ của $AB$ là $A\mathbf{b_{j}}$ , và ta có thể tính $A\mathbf{b_{j}}$ bằng quy tắc vector hàng để tính $A\mathbf{x}$ . Phần tử thứ $i$ trong $A\mathbf{b_{j}}$ là tổng của các tích của các phần tử tương ứng từ hàng $i$ của $A$ và vector $\mathbf{b}_j$ , chính xác theo quy tắc để tính phần tử $(i,j)$ của $AB$ .

Ví dụ 5: Sử dụng quy tắc hàng – cột để tính hai phần tử trong $AB$ đối với các ma trận trong ví dụ 3. Việc kiểm tra các số liên quan sẽ cho thấy rõ hai phương pháp tính $AB$ tạo ra cùng một ma trận.

Giải: Để tìm phần tử tại hàng 1 và cột 3 của $AB$ , xét hàng 1 của aa và cột 3 của $B$ . Nhân các phần tử tương ứng và cộng các kết quả, như minh họa bên dưới:

Đối với phần tử tại hàng 2 và cột 2 của $AB$ , sử dụng hàng 2 của $A$ và cột 2 của $B$ :

Ví dụ 6: Tìm các phần tử trong hàng thứ hai của $AB$ , với:

$A=\begin{bmatrix}2&-5&0\\-1&3&-4\\6&-8&-7\\-3&0&9\\\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}4&-6\\7&1\\3&2\\\end{bmatrix}$

Giải: Theo quy tắc hàng – cột, các phần tử của hàng thứ hai của $AB$ được lấy từ hàng thứ hai của $A$ (và các cột của $B$ ):

Lưu ý rằng vì ví dụ 6 chỉ yêu cầu hàng thứ hai của $AB$ , ta có thể chỉ viết hàng thứ hai của $A$ bên trái của $B$ và tính toán

$\begin{bmatrix}-1&3&-4\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&-6\\7&1\\3&2\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&1\\\end{bmatrix}$

Quan sát này về các hàng của $AB$ là đúng trong mọi trường hợp và tuân theo quy tắc hàng – cột. Ký hiệu $\text{row}_i(A)$ là hàng thứ $i$ của ma trận A $A$ . Khi đó:

(2) $\begin{equation*}\text{row}_i(AB)=\text{row}_i(A)\cdot B\end{equation*}$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 3: Phép nhân ma trận

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy