Bài giảng 4: Các Tính Chất của Phép Nhân Ma Trận

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Định lý sau đây liệt kê các tính chất tiêu chuẩn của phép nhân ma trận. Nhắc lại rằng $I_m$ là ma trận đơn vị kích thước $m\times m$ và $I_m\mathbf{x}=\mathbf{x}$ với mọi $x\in\mathbb{R}^m$ .

Định lý 2

Cho  là ma trận , và cho  và  là các ma trận có kích thước sao cho tổng và tích được xác định.
a.     (Quy tắc kết hợp của phép nhân ma trận)
b.     (Quy tắc phân phối bên trái)
c.     (Quy tắc phân phối bên phải)
d.   với số vô hướng r bất kỳ
e.     (Phần tử đơn vị trong phép nhân ma trận)

Chứng minh: Các tính chất (b) – (e) được xem xét trong các bài tập. Tính chất (a) được suy ra từ thực tế rằng phép nhân ma trận tương ứng với phép hợp thành của các ánh xạ tuyến tính (vốn là các hàm số), và đã biết (hoặc dễ kiểm tra) rằng phép hợp thành của các hàm là kết hợp.

Một cách chứng minh khác của (a) dựa trên “định nghĩa cột” của phép nhân hai ma trận. Gọi

$C=\begin{bmatrix}\mathbf{c_{1}}&\cdots&\mathbf{c_{p}}\\\end{bmatrix}$

Theo định nghĩa của phép nhân ma trận, ta có:

$BC=\begin{bmatrix}B\mathbf{c_{1}}&\cdots&B\mathbf{c_{p}}\\\end{bmatrix}$

$A(BC)=\begin{bmatrix}A(B\mathbf{c_{1}})&\cdots&AB\mathbf{c_{p}})\\\end{bmatrix}$

Nhắc lại từ phương trình (1) rằng định nghĩa của $AB$ thỏa mãn $A(B\mathbf{x})=(AB)\mathbf{x}$ với $\forall x$ , nên ta có:

$A(BC)=\begin{bmatrix}(AB)\mathbf{c_{1}}&\cdots&(AB)\mathbf{c_{p}}\\\end{bmatrix}=(AB)C$

Các quy tắc kết hợp và phân phối trong định lý 1 và 2 cho thấy rằng dấu ngoặc đơn trong các biểu thức ma trận có thể được thêm hoặc bỏ đi giống như trong đại số số thực. Cụ thể, ta có thể viết tích $ABC$ và tính toán bằng hai cách: $A(BC)$ hoặc $(AB)C$ .

Tương tự, một tích gồm bốn ma trận $ABCD$ có thể được tính theo các cách: $A(BCD)$ hoặc $(ABC)D$ hoặc $A(BC)D$ … Miễn là thứ tự từ trái sang phải của các ma trận được giữ nguyên, cách nhóm các ma trận không ảnh hưởng đến kết quả.

Tuy nhiên, thứ tự trong phép nhân ma trận là rất quan trọng, vì thông thường $AB\neq BA$ . Điều này không gây ngạc nhiên, vì các cột của $AB$ là tổ hợp tuyến tính của các cột của $A$ , trong khi các cột của $BA$ được xây dựng từ các cột của $B$ . Vị trí của các thừa số trong tích $AB$ được nhấn mạnh bằng cách nói rằng $A$ được nhân bên phải bởi $B$ hoặc $B$ được nhân bên trái bởi $A$ . Nếu $AB=BA$ , ta nói rằng $A$ và $B$ giao hoán với nhau.

Ví dụ 7: Cho $A=\begin{bmatrix}5&1\\3&-2\\\end{bmatrix}$ và $B=\begin{bmatrix}2&0\\4&3\\\end{bmatrix}$ . Chứng minh rằng hai ma trận này không giao hoán, tức là xác minh rằng $AB\neq BA$ .

Giải:

$AB=\begin{bmatrix}5&1\\3&-2\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&0\\4&3\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14&3\\-2&-6\\\end{bmatrix}$

$BA=\begin{bmatrix}2&0\\4&3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5&1\\3&-2\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10&2\\29&-2\\\end{bmatrix}$

Ví dụ 7 minh họa sự khác biệt quan trọng giữa đại số ma trận và đại số số thực. Dưới đây là một số cảnh báo quan trọng:

Thông thường, $AB\neq BA$ .
Quy tắc khử không áp dụng cho phép nhân ma trận. Nếu $AB=AC$ , thì không nhất thiết suy ra $B=C$ .
Nếu tích $AB$ là ma trận không, ta không thể kết luận rằng $A=0$ hoặc $B=0$ .

Lũy Thừa của Ma Trận

Nếu $A$ là ma trận vuông $n\times n$ và $k$ là số nguyên dương, thì $A^k$ là tích của $k$ bản sao của $A$ :

Nếu $A$ là ma trận khác không và $\mathbf{x}$ là một véc-tơ trong $\mathbb{R}^n$ , thì $A^k\mathbf{x}$ là kết quả của việc nhân véc-tơ $\mathbf{x}$ với $A$ lặp đi lặp lại $k$ lần.