Bài giảng 6: Nghịch Đảo Của Ma Trận

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Đại số ma trận cung cấp các công cụ để thao tác với phương trình ma trận và tạo ra nhiều công thức hữu ích tương tự như cách làm đại số thông thường với các số thực. Bài này nghiên cứu tương tự của ma trận đối với số nghịch đảo, hay nghịch đảo nhân, của một số khác không.

Nhắc lại rằng nghịch đảo nhân của một số, chẳng hạn như 5, là $1/5$ hoặc $5^{-1}$ . Nghịch đảo này thỏa mãn các phương trình

$5^{-1}(5)=1$ và $5(5^{-1})=1$

Tổng quát hóa cho ma trận đòi hỏi cả hai phương trình và tránh ký hiệu dấu gạch chéo (/) vì phép nhân ma trận không có tính giao hoán. Hơn nữa, tổng quát hóa đầy đủ chỉ có thể thực hiện nếu các ma trận liên quan là ma trận vuông.

Một ma trận $n\times n$ $A$ được gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ma trận $n\times n$ $C$ sao cho:

$CA=I$ và $AC=I$

trong đó $I=I_n$ là ma trận đơn vị $n\times n$ . Khi đó, $C$ được gọi là nghịch đảo của $A$ .

Thực tế, $C$ là duy nhất, bởi vì nếu tồn tại một ma trận nghịch đảo khác của $A$ , ký hiệu là $B$ , thì ta có $B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C$ . Do đó, nghịch đảo duy nhất này được ký hiệu là $A^{-1}$ , sao cho:

$A^{-1}A=I$ và $AA^{-1}=I$

Một ma trận không khả nghịch đôi khi được gọi là ma trận suy biến, trong khi một ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến.

Ví dụ 1: Nếu $A=\begin{bmatrix}2&5\\-3&-7\\\end{bmatrix}$ và $C=\begin{bmatrix}-7&-5\\3&2\\\end{bmatrix}$ thì

$AC=\begin{bmatrix}2&5\\-3&-7\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-7&-5\\3&2\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}$ và

$CA=\begin{bmatrix}-7&-5\\3&2\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&5\\-3&-7\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}$

Do đó, $C=A^{-1}.$

Dưới đây là công thức đơn giản để tìm nghịch đảo của một ma trận $2\times 2$ cùng với một cách kiểm tra xem nghịch đảo có tồn tại hay không.

Định lý 4

Cho ma trận . Nếu , thì A có nghịch đảo và



Nếu , thì A không khả nghịch.

Lượng $ad-bc$ được gọi là định thức của ma trận $A$ , ký hiệu là

$\det(A)=ad-bc$

Định lý 4 nói rằng một ma trận $2\times 2$ có thể nghịch đảo khi và chỉ khi $\det(A)\neq 0$ .

Ví dụ 2: Tìm nghịch đảo của ma trận $A=\begin{bmatrix}3&4\\5&6\\\end{bmatrix}$ .

Giải: Vì $\det(A)=3(6)-4(5)=-2\neq 0$ nên $A$ khả nghịch và

$A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}6&-4\\-5&3\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6/-2&-4/-2\\-5/-2&3/-2\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3&2\\-5/-2&3/-2\\\end{bmatrix}$

Ma trận nghịch đảo có vai trò quan trọng trong đại số tuyến tính, đặc biệt trong tính toán đại số và thiết lập công thức. Ngoài ra, nghịch đảo của ma trận cũng giúp hiểu rõ hơn về mô hình toán học trong các tình huống thực tế, như trong ví dụ 3 dưới đây.

Định lý 5

Nếu A là một ma trận vuông  khả nghịch, thì với mọi , phương trình Ax=b có nghiệm duy nhất là .

Chứng minh: Lấy $\mathbf{b}$ bất kỳ trong $\mathbb{R}^n$ . Nếu thay $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ vào phương trình, ta có: $A\mathbf{x}=A(A^{-1}\mathbf{b})=(AA^{-1})\mathbf{b}=I\mathbf{b}=\mathbf{b}$ Vậy $A^{-1}\mathbf{b}$ là một nghiệm. Để chứng minh nghiệm này là duy nhất, giả sử $\mathbf{u}$ là một nghiệm bất kỳ của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ , nghĩa là $A\mathbf{u}=\mathbf{b}$ . Nhân cả hai vế với $A^{-1}$ , ta được:

$A^{-1}A\mathbf{u}=A^{-1}\mathbf{b},\quad I\mathbf{u}=A^{-1}\mathbf{b}$ và $\mathbf{u}=A^{-1}\mathbf{b}$

Do đó, nghiệm duy nhất của phương trình là $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ .

Ví dụ 3: Một thanh đàn hồi nằm ngang được đỡ ở hai đầu và chịu lực tác động tại các điểm 1, 2, 3 như trong Hình 1.

Gọi $\mathbf{f}\in\mathbb{R}^3$ là véc-tơ lực tác động lên thanh tại các điểm đó và $\mathbf{y}\in\mathbb{R}^3$ là véc-tơ liệt kê độ võng (sự dịch chuyển) tại các điểm đó. Theo định luật Hooke trong vật lý, ta có phương trình:

$\mathbf{y}=D\mathbf{f}$

trong đó, $D$ là ma trận độ linh hoạt. Nghịch đảo của nó, $D^{-1}$ , được gọi là ma trận độ cứng. Mô tả ý nghĩa vật lý của các cột của $D$ và $D^{-1}$ .

Giải: Xét $I_{3}=\begin{bmatrix}\mathbf{e_{1}}&\mathbf{e_{2}}&\mathbf{e_{3}}\\\end{bmatrix}$ , ta có:

$D=D I_3=[D\mathbf{e}_1\;D\mathbf{e}_2\;D\mathbf{e}_3]$

Trong đó:

$\mathbf{e}_1=(1,0,0)$ biểu diễn lực đơn vị tác dụng xuống tại điểm 1 (không có lực tại điểm 2 và 3).
$D\mathbf{e}_1$ (cột đầu tiên của $D$ ) mô tả độ võng của thanh do một lực đơn vị tại điểm 1.
Các cột còn lại mô tả ảnh hưởng của lực đơn vị tại các điểm 2 và 3.

Xét ma trận độ cứng $D^{-1}$ , Phương trình $\mathbf{f}=D^{-1}\mathbf{y}$ tính toán véc-tơ lực $\mathbf{f}$ khi biết véc-tơ độ võng $\mathbf{y}$ . Ta có

$D^{-1}=D^{-1}I_3=\begin{bmatrix}D^{-1}\mathbf{e}_1&D^{-1}\mathbf{e}_2&D^{-1}\mathbf{e}_3\\\end{bmatrix}$

Ở đây:

$\mathbf{e}_1$ được hiểu là véc-tơ độ võng đơn vị (1 đơn vị tại điểm 1, 0 tại các điểm khác).
Cột đầu tiên của $D^{-1}$ cho biết lực cần thiết tại ba điểm để tạo ra một độ võng đơn vị tại điểm 1 và không có độ võng tại các điểm khác.
Tương tự, các cột khác mô tả lực cần thiết để tạo ra độ võng đơn vị tại điểm 2 hoặc 3.

Một số lực có thể có giá trị âm (hướng lên) để đảm bảo độ võng mong muốn. Nếu độ linh hoạt được đo bằng inch độ võng trên mỗi pound tải trọng, thì các phần tử của ma trận độ cứng được đo bằng pound tải trọng trên inch độ võng.

Lưu ý về tính toán số học

Công thức từ Định lý 5 ít khi được dùng để giải phương trình $Ax = b$ trên máy tính, vì phương pháp khử Gauss (row reduction) trên ma trận $\begin{bmatrix}A&\mathbf{b}\\\end{bmatrix}$ thường nhanh hơn và chính xác hơn (đặc biệt khi có làm tròn số).

Một ngoại lệ là trường hợp $2\times 2$ , khi ta có thể nhanh chóng tính nghiệm bằng công thức của $A^{-1}$ , như trong ví dụ tiếp theo.

Ví dụ 4: Sử dụng nghịch đảo của ma trận A trong ví dụ 2 để giải hệ phương trình

$\begin{aligned}\begin{matrix}3x_{1}+4x_{2}&=3\\5x_{1}+6x_{2}&=7\\\end{matrix}\end{aligned}$

Giải: Hệ phương trình này tương đương với $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ , do đó

$\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=\begin{bmatrix}-3&2\\5/2&-3/2\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\-3\end{bmatrix}$

Định lý sau đây cung cấp ba tính chất hữu ích về ma trận khả nghịch.

Định lý 6

a. Nếu A là một ma trận khả nghịch, thì  cũng khả nghịch và 

b. Nếu A và B là hai ma trận  khả nghịch, thì AB cũng khả nghịch, và nghịch đảo của AB bằng tích của nghịch đảo của A và B theo thứ tự ngược lại. Cụ thể:


c. Nếu A là một ma trận khả nghịch, thì ma trận chuyển vị  cũng khả nghịch, và nghịch đảo của  chính là chuyển vị của . Cụ thể:

Chứng minh: Để kiểm chứng phát biểu (a), tìm một ma trận $C$ sao cho:

$A^{-1}C=I$ và $C A^{-1}=I$

Thực tế, các phương trình này được thỏa mãn khi thay $A$ vào vị trí của $C$ . Do đó, $A^{-1}$ là khả nghịch, và nghịch đảo của nó chính là $A$ .

Tiếp theo, để chứng minh phát biểu (b), ta tính:

$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(B B^{-1})A^{-1}=A I A^{-1}=A A^{-1}=I$

Một phép tính tương tự cũng cho thấy rằng: $(B^{-1}A^{-1})(AB)=I$ .

Đối với phát biểu (c), sử dụng Định lý 3(d) và đọc từ phải sang trái: $(A^{-1})^T A^T=(A A^{-1})^T=I^T=I$ .

Tương tự, $A^T(A^{-1})^T=I^T=I$ . Do đó, $A^T$ là khả nghịch và nghịch đảo của nó là $(A^{-1})^T$ .

Ghi chú:

Phần (b) minh họa vai trò quan trọng của định nghĩa trong chứng minh. Định lý khẳng định rằng $B^{-1}A^{-1}$ là nghịch đảo của $AB$ . Chứng minh trên xác nhận điều này bằng cách cho thấy $B^{-1}A^{-1}$ thỏa mãn định nghĩa của một ma trận nghịch đảo. Cụ thể, nghịch đảo của $AB$ là một ma trận mà khi nhân với $AB$ từ bên trái (hoặc bên phải), ta thu được ma trận đơn vị $I$ . Vì vậy, chứng minh trên chỉ cần chứng minh rằng $B^{-1}A^{-1}$ có tính chất này.

Sự mở rộng sau của Định lý 6(b) sẽ được sử dụng sau này.

Tích của nhiều ma trận  khả nghịch cũng là một ma trận khả nghịch, và nghịch đảo của nó là tích các nghịch đảo của chúng theo thứ tự ngược lại.

Có một mối liên hệ quan trọng giữa các ma trận khả nghịch và các phép biến đổi hàng, điều này dẫn đến một phương pháp để tính nghịch đảo của ma trận. Như ta sẽ thấy, một ma trận khả nghịch $A$ có thể được biến đổi hàng để trở thành ma trận đơn vị, và ta có thể tìm $A^{-1}$ bằng cách theo dõi quá trình biến đổi hàng từ $A$ thành $I$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 6: Nghịch Đảo Của Ma Trận

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy