Bài giảng 7: Ma trận sơ cấp

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Một ma trận sơ cấp là ma trận thu được bằng cách thực hiện một phép biến đổi hàng sơ cấp trên một ma trận đơn vị. Ví dụ sau đây minh họa ba loại ma trận sơ cấp.

Ví dụ: Cho

$E_{1}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix},\quad E_{2}=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{bmatrix},\quad E_{3}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&5\\\end{bmatrix},$

$A=\begin{bmatrix}a&b&d\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}$

Tính $E_{1}A,\,E_{2}A$ , và $E_{3}A$ , và mô tả cách các tích này có thể thu được bằng các phép biến đổi hàng sơ cấp trên $A$ .

Giải: Xác nhận rằng:

$E_{3}A=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\5g&5h&5i\\\end{bmatrix}$

$E_{1}A=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g-4a&h-4b&i-4c\\\end{bmatrix},\quad E_{2}A=\begin{bmatrix}d&e&f\\a&b&c\\g&h&i\\\end{bmatrix},$

$E_{1}A$ được tạo ra bằng cách cộng −4 lần hàng 1 của $A$ vào hàng 3 (đây là phép thay thế hàng).
latex]E_{2}A[/latex] được tạo ra bằng cách hoán đổi hàng 1 và hàng 2 của $A$ .
$E_{3}A$ được tạo ra bằng cách nhân hàng 3 của $A$ với 5.

Nhân bên trái (tức là nhân từ bên trái) với $E_{1}$ trong ví dụ trên có cùng hiệu ứng trên bất kỳ ma trận $3\times n$ nào. Nó sẽ cộng −4 lần hàng 1 vào hàng 3. Đặc biệt, vì $E_1\cdot I=E_1$ , ta thấy rằng chính $E_{1}$ cũng được tạo ra bằng phép biến đổi hàng này trên ma trận đơn vị. Do đó, ví dụ trên minh họa một thực tế tổng quát sau về ma trận sơ cấp.

Nếu một phép biến đổi hàng sơ cấp được thực hiện trên một ma trận  , thì ma trận thu được có thể được viết dưới dạng , trong đó ma trận   được tạo ra bằng cách thực hiện cùng phép biến đổi hàng đó trên .

Vì các phép biến đổi hàng là khả nghịch, các ma trận sơ cấp là khả nghịch. Nếu $E$ được tạo ra bởi một phép biến đổi hàng trên $I$ , thì có một phép biến đổi hàng khác cùng loại biến $E$ trở lại thành $I$ . Do đó, tồn tại một ma trận sơ cấp $F$ sao cho $FE=I$ . Vì $E$ và $F$ tương ứng với các phép biến đổi ngược nhau, ta cũng có $EF=I$ .

Mỗi ma trận sơ cấp $E$ đều khả nghịch. Nghịch đảo của $E$ là một ma trận sơ cấp cùng loại, thực hiện phép biến đổi ngược lại để đưa $E$ trở lại thành $I$ .

Ví dụ 2: Tìm nghịch đảo của $E_{1}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-4&0&1\\\end{bmatrix}$ .

Giải: Để biến $E_1$ thành $I$ , ta cần cộng +4 lần hàng 1 vào hàng 3. Ma trận sơ cấp thực hiện phép toán này là

$E_1^{-1}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\+4&0&1\\\end{bmatrix}$

Định lý sau cung cấp cách trực quan nhất để “hình dung” một ma trận khả nghịch và dẫn đến một phương pháp tìm nghịch đảo của một ma trận.

Định lý 7

Một ma trận   là khả nghịch nếu và chỉ nếu  hàng tương đương với . Trong trường hợp này, bất kỳ chuỗi phép biến đổi hàng sơ cấp nào biến đổi  thành  cũng sẽ biến đổi  thành .

Chú thích: Ghi chú về chứng minh của Định lý 11 trong bài trước đã chỉ ra rằng câu phát biểu “P nếu và chỉ nếu Q” tương đương với hai mệnh đề:

“Nếu P thì Q”
“Nếu Q thì P”

Mệnh đề thứ hai được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề thứ nhất, điều này giải thích việc sử dụng từ conversely (ngược lại) trong đoạn thứ hai của chứng minh này.

Chứng minh: Giả sử $A$ là khả nghịch. Khi đó, vì phương trình Ax=bAx = b có nghiệm với mọi $\mathbf{b}$ (Định lý 5), $A$ có vị trí pivot trong mỗi hàng (Định lý 4, Mục 1.4). Vì $A$ là ma trận vuông, nên $n$ vị trí pivot phải nằm trên đường chéo chính, điều này có nghĩa là dạng bậc thang rút gọn của $A$ là $I_n$ . Nghĩa là $A\sim I_n$ .

Bây giờ, giả sử ngược lại rằng $A\sim I_n$ . Vì mỗi bước biến đổi hàng của $A$ tương ứng với phép nhân bên trái bởi một ma trận sơ cấp, nên tồn tại các ma trận sơ cấp $E_1,\dots,E_p$ sao cho:

$A\sim E_1A\sim E_2(E_1A)\sim\dots\sim E_p(E_{p-1}\dots E_1A)=I_n$

Tức là:

(1) $\begin{equation*}E_p\dots E_1 A=I_n\end{equation*}$

Vì tích $E_p\dots E_1$ của các ma trận khả nghịch cũng là khả nghịch, phương trình (1) dẫn đến:

$(E_p\dots E_1)^{-1}(E_p\dots E_1)A=(E_p\dots E_1)^{-1}I_n$

$A=(E_p\dots E_1)^{-1}$

Do đó, $A$ là khả nghịch vì nó là nghịch đảo của một ma trận khả nghịch (theo Định lý 6). Ngoài ra,

$A^{-1}=[(E_p\dots E_1)^{-1}]^{-1}=E_p\dots E_1$

Khi đó: $A^{-1}=E_p\dots E_1 I_n$ . Điều này có nghĩa rằng $A^{-1}$ thu được bằng cách áp dụng lần lượt $E_1,\dots,E_p$ lên $I_n$ . Đây chính là chuỗi phép biến đổi hàng đã biến $A$ thành $I_n$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 7: Ma trận sơ cấp

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy