Bài giảng 8: Thuật toán tìm nghịch đảo của ma trận $A^{-1}$

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Nếu ta đặt $A$ và $I$ cạnh nhau để tạo thành ma trận bổ sung $\begin{bmatrix}A&I\\\end{bmatrix}$ , thì các phép biến đổi hàng trên ma trận này sẽ áp dụng đồng thời lên cả $A$ và $I$ . Theo Định lý 7 của bài trước, hoặc là có các phép biến đổi hàng biến $A$ thành $I_n$ và đồng thời biến $I_n$ thành $A^{-1}$ , hoặc $A$ không khả nghịch.

Thuật toán tìm $A^{-1}$

Rút gọn hàng ma trận bổ sung $\begin{bmatrix}A&I\\\end{bmatrix}$ .
Nếu $A$ hàng tương đương với $I_n$ , thì $\begin{bmatrix}A&I\\\end{bmatrix}$ hàng tương đương với $\begin{bmatrix}I_n&A^{-1}\\\end{bmatrix}$ .
Ngược lại, nếu không thể biến đổi $A$ thành $I_n$ , thì $A$ không có nghịch đảo.

Ví dụ 2: Tìm nghịch đảo của ma trận $A=\begin{bmatrix}0&1&2\\1&0&3\\4&-3&8\\\end{bmatrix}$ , nếu có.

Giải:

$\begin{aligned}\begin{bmatrix}A&I\\\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}0&1&2&1&0&0\\1&0&3&0&1&0\\4&-3&8&0&0&1\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}0&1&3&0&1&0\\0&1&2&1&0&0\\4&-3&8&0&0&1\\\end{bmatrix}\\\\&\sim\begin{bmatrix}0&1&3&0&1&0\\0&1&2&1&0&0\\0&-3&-4&0&-4&1\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}0&1&3&0&1&0\\0&1&2&1&0&0\\0&0&2&3&-4&1\\\end{bmatrix}\\\\&\sim\begin{bmatrix}0&1&3&0&1&0\\0&1&2&1&0&0\\0&0&1&3/2&-2&1/2\\\end{bmatrix}\\\\&\sim\begin{bmatrix}1&0&0&-9/2&7&-3/2\\0&1&0&-2&4&-1\\0&0&1&3/2&-2&1/2\\\end{bmatrix}\end{aligned}$

Theo Định lý 7, nếu $A\sim I$ , thì $A$ là khả nghịch và

$A^{-1}=\begin{bmatrix}-9/2&7&-3/2\\-2&4&-1\\3/2&-2&1/2\end{bmatrix}$ .

Câu trả lời hợp lý

Sau khi tìm được một ma trận ứng viên là $A^{-1}$ , ta có thể kiểm tra lại bằng cách tính tích $AA^{-1}$ . Nếu $AA^{-1}=I$ , thì kết quả tìm được là chính xác. Đối với ma trận $A$ trong ví dụ 2, ta tính:

$AA^{-1}=\begin{bmatrix}0&1&2\\1&0&3\\4&-3&8\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-9/2&7&-3/2\\-2&4&-1\\3/2&-2&1/2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}$

Điều này xác nhận rằng kết quả tìm được là đúng. Lưu ý rằng không cần kiểm tra $AA^{-1}=I$ nữa, vì nếu $A$ khả nghịch, thì điều này hiển nhiên đúng.

Một góc nhìn khác về phép nghịch đảo ma trận

Gọi các cột của $I_n$ là $\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n$ . Khi đó, phép khử hàng của $\begin{bmatrix}A&I\\\end{bmatrix}$ sang $\begin{bmatrix}I&A^{-1}\\\end{bmatrix}$ có thể được xem như là quá trình giải đồng thời $n$ hệ phương trình

(2) $\begin{equation*}A\mathbf{x}=\mathbf{e_{1}},\quad A\mathbf{x}=\mathbf{e_{2}},\quad...,\quad A\mathbf{x}=\mathbf{e_{n}}\end{equation*}$

trong đó các “cột bổ sung” của các hệ phương trình này được đặt cạnh $A$ để tạo thành $\begin{bmatrix}A&\mathbf{e_{1}}&\mathbf{e_{2}}&\cdots&\mathbf{e_{n}}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&I\\\end{bmatrix}$ .

Phương trình $AA^{-1}=I$ và định nghĩa phép nhân ma trận cho thấy rằng các cột của $A^{-1}=I$ chính là nghiệm của các hệ phương trình trong (2). Quan sát này rất hữu ích vì trong một số bài toán ứng dụng, ta chỉ cần tìm một hoặc một vài cột của $A^{-1}=I$ . Trong trường hợp đó, chỉ cần giải các hệ phương trình tương ứng trong (2).

Ghi chú về tính toán số

Trong thực tế, người ta hiếm khi tính toàn bộ $A^{-1}$ , trừ khi cần đến các phần tử của nó. Việc tính cả $A^{-1}$ và $A^{-1}\mathbf{b}$ mất khoảng ba lần số phép toán so với việc giải hệ phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ bằng phép khử hàng, và phương pháp khử hàng có thể cho kết quả chính xác hơn.

Thuật toán tìm $A^{-1}$

Một góc nhìn khác về phép nghịch đảo ma trận

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 8: Thuật toán tìm nghịch đảo của ma trận

Lesson Attachments

Thuật toán tìm

Một góc nhìn khác về phép nghịch đảo ma trận

Để lại một bình luận Hủy

Bài giảng 8: Thuật toán tìm nghịch đảo của ma trận $A^{-1}$

Thuật toán tìm $A^{-1}$