Bài giảng 9: Các đặc trưng của ma trận khả nghịch

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Phần này cung cấp một tổng quan về hầu hết các khái niệm đã được giới thiệu trong bài mở đầu, liên quan đến hệ gồm $n$ phương trình tuyến tính với $n$ ẩn số và ma trận vuông. Kết quả chính là Định lý 8.

Định lý 8 Định lý ma trận khả nghịch

Cho  là một ma trận vuông kích thước . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương. Nghĩa là, với một ma trận  nhất định, hoặc tất cả các mệnh đề đều đúng, hoặc tất cả đều sai.
a.  là một ma trận khả nghịch.
b.  tương đương hàng với ma trận đơn vị .
c.  có n vị trí chốt.
d. Phương trình Ax=0 chỉ có nghiệm tầm thường.
e. Các cột của  tạo thành một tập hợp độc lập tuyến tính.
f. Phép biến đổi tuyến tính  là một ánh xạ một-một.
g. Phương trình Ax=b có ít nhất một nghiệm với mọi b trong . 
h. Các cột của A sinh ra không gian .
i. Phép biến đổi tuyến tính  ánh xạ lên toàn bộ .
j. Tồn tại một ma trận C kích thước  sao cho CA = I.
k. Tồn tại một ma trận D kích thước  sao cho AD = I.
l. Ma trận chuyển vị  là một ma trận khả nghịch.

Trước tiên, chúng ta cần một số ký hiệu. Nếu tính đúng đắn của mệnh đề (a) luôn kéo theo mệnh đề (j) đúng, ta nói rằng (a) kéo theo (j) và viết $(a)\Rightarrow(j)$ . Chứng minh sẽ thiết lập một “vòng tròn” các suy luận như trong Hình 1.

Nếu một trong năm mệnh đề này đúng, thì tất cả các mệnh đề còn lại cũng đúng. Cuối cùng, chứng minh sẽ liên kết các mệnh đề còn lại của định lý với các mệnh đề trong vòng tròn đó.

Chứng minh: Nếu mệnh đề (a) đúng, thì $A^{-1}$ có thể đóng vai trò của $C$ trong (j), nên ta có $(a)\Rightarrow(j)$ . Tiếp theo, $(j)\Rightarrow(d)$ . Ngoài ra, $(d)\Rightarrow(c)$ . Nếu $A$ là ma trận vuông và có $n$ vị trí chốt, thì các điểm chốt phải nằm trên đường chéo chính, khi đó dạng bậc thang bậc rút gọn của $A$ là $I_n$ . Do đó, $(c)\Rightarrow(b)$ . Ngoài ra, $(b)\Rightarrow(a)$ . Điều này hoàn thành vòng tròn trong Hình 1.

Tiếp theo, $(a)\Rightarrow(k)$ vì $A^{-1}$ có thể đóng vai trò của DD. Ngoài ra, $(k)\Rightarrow(g)$ , và $(g)\Rightarrow(a)$ ). Vì vậy, (k) và (g) được liên kết với vòng tròn. Hơn nữa, (g),(h) và (i) là tương đương đối với mọi ma trận, theo Định lý 4 và Định lý 12(a). Do đó, (h) và (i) được liên kết qua (g) với vòng tròn.

Vì (d) được liên kết với vòng tròn, nên (e) và (f) cũng vậy, vì (d),(e) và (f) là tương đương đối với mọi ma trận $A$ . Cuối cùng, $(a)\Rightarrow(l)$ theo Định lý 6(c). Và $(l)\Rightarrow(a)$ theo cùng định lý với $A$ và $A^T$ hoán đổi vị trí. Điều này hoàn thành chứng minh.

Do Định lý 5, mệnh đề (g) trong Định lý 8 cũng có thể được viết lại là: “Phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có nghiệm duy nhất với mọi $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n$ .” Mệnh đề này rõ ràng kéo theo (b), do đó suy ra $A$ là khả nghịch.

Hệ quả tiếp theo rút ra từ Định lý 8:

Nếu $A$ và $B$ là các ma trận vuông và $AB=I$ , thì cả $A$ và $B$ đều khả nghịch, với $B=A^{-1}$ và $A=B^{-1}$ .

Định lý ma trận khả nghịch chia tập hợp tất cả các ma trận $n\times n$ thành hai lớp rời rạc: ma trận khả nghịch (không suy biến) và ma trận không khả nghịch (suy biến). Mỗi mệnh đề trong định lý mô tả một tính chất của mọi ma trận $n\times n$ khả nghịch. Phủ định của một mệnh đề trong định lý mô tả một tính chất của mọi ma trận $n\times n$ suy biến. Ví dụ, một ma trận $n\times n$ suy biến không tương đương hàng với $I_n$ , không có $n$ vị trí chốt, và có các cột phụ thuộc tuyến tính. Phủ định của các mệnh đề khác được xem xét trong các bài tập.

Ví dụ 1: Sử dụng định lý Ma trận Khả nghịch để quyết định xem ma trận $A$ có khả nghịch không:

$A=\begin{bmatrix}1&0&-2\\3&1&-2\\-5&-1&9\\\end{bmatrix}$

Giải

$A\sim\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&1&4\\0&-1&-1\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&1&4\\0&0&3\\\end{bmatrix}$

Ma trận $A$ có ba vị trí chốt, do đó theo Định lý Ma trận Khả nghịch (mệnh đề (c)), $A$ là khả nghịch.

Sức mạnh của Định lý Ma trận Khả nghịch nằm ở mối liên hệ giữa nhiều khái niệm quan trọng, chẳng hạn như tính độc lập tuyến tính của các cột của ma trận $A$ và sự tồn tại nghiệm của phương trình dạng $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ . Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng Định lý Ma trận Khả nghịch chỉ áp dụng cho các ma trận vuông. Ví dụ, nếu các cột của một ma trận $4\times 3$ là độc lập tuyến tính, chúng ta không thể sử dụng Định lý Ma trận Khả nghịch để kết luận bất cứ điều gì về sự tồn tại hoặc không tồn tại nghiệm của phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ .

Phép Biến Đổi Tuyến Tính Khả Nghịch

Nhớ lại rằng phép nhân ma trận tương ứng với việc hợp thành các phép biến đổi tuyến tính. Khi một ma trận $A$ là khả nghịch, phương trình $A^{-1}A\mathbf{x}=\mathbf{x}$ có thể được xem như một phát biểu về phép biến đổi tuyến tính. Xem Hình 2.

Hình 2: $A^{-1}$ biến đổi $A\mathbf{x}$ trở lại thành $\mathbf{x}$ .

Một phép biến đổi tuyến tính $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ được gọi là khả nghịch nếu tồn tại một hàm $S:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ sao cho

(1) $\begin{equation*}\begin{matrix}S(T(\mathbf{x}))&=\mathbf{x}\\\end{matrix}\end{equation*}$

với mọi $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$ .

(2) $\begin{equation*}\begin{matrix}T(S(\mathbf{x}))&=\mathbf{x}\\\end{matrix}\end{equation*}$

với mọi $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$ .

Định lý tiếp theo cho thấy rằng nếu tồn tại một ánh xạ $S$ như vậy, thì nó là duy nhất và phải là một phép biến đổi tuyến tính. Chúng ta gọi $S$ là nghịch đảo của $T$ và ký hiệu nó là $T^{-1}$ .

Định lý 9

Cho  là một phép biến đổi tuyến tính và  là ma trận chuẩn của . Khi đó,  khả nghịch khi và chỉ khi  là một ma trận khả nghịch. Trong trường hợp đó, phép biến đổi tuyến tính  được cho bởi  là ánh xạ duy nhất thỏa mãn các phương trình (1) và (2).

Chứng minh: Giả sử $T$ khả nghịch. Khi đó, (2) cho thấy rằng $T$ là một ánh xạ phủ lên $\mathbb{R}^n$ , vì nếu $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n$ và $\mathbf{x}=S(\mathbf{b})$ , thì $T(\mathbf{x})=T(S(\mathbf{b}))=\mathbf{b}$ , do đó mỗi $\mathbf{b}$ đều nằm trong phạm vi của $T$ . Như vậy, theo Định lý Ma trận Khả nghịch (phát biểu (i)), $A$ phải khả nghịch.

Ngược lại, giả sử $A$ khả nghịch, và đặt $S(\mathbf{x})=A^{-1}\mathbf{x}$ . Khi đó, $T$ là một phép biến đổi tuyến tính và rõ ràng thỏa mãn (1) và (2). Ví dụ,

$S(T(\mathbf{x}))=S(A\mathbf{x})=A^{-1}(A\mathbf{x})=\mathbf{x}$

Do đó, $T$ khả nghịch.

Ví dụ 2: Một phép biến đổi tuyến tính $T$ từ $\mathbb{R}^n$ vào $\mathbb{R}^n$ là đơn ánh thì có đặc điểm gì?

Giải: Các cột của ma trận chuẩn $A$ của $T$ là độc lập tuyến tính. Do đó, $A$ khả nghịch theo Định lý Ma trận Khả nghịch, và $T$ ánh xạ phủ lên $\mathbb{R}^n$ . Ngoài ra, theo Định lý 9, $T$ cũng khả nghịch.

Ghi chú về tính toán số học

Trong thực tế, bạn có thể gặp một ma trận “gần như suy biến” (near singular) hoặc ma trận “điều kiện kém” (ill-conditioned) — tức là một ma trận khả nghịch nhưng có thể trở thành suy biến nếu một số phần tử của nó thay đổi dù chỉ một chút. Trong trường hợp này, phương pháp khử hàng có thể tạo ra số lượng điểm xoay ít hơn $n$ do lỗi làm tròn. Ngoài ra, lỗi làm tròn đôi khi có thể làm cho một ma trận suy biến trông có vẻ như khả nghịch.

Một số phần mềm ma trận có thể tính toán “số điều kiện” (condition number) cho một ma trận vuông. Giá trị số điều kiện càng lớn, ma trận càng gần suy biến. Số điều kiện của ma trận đơn vị là 1. Một ma trận suy biến có số điều kiện là vô cùng. Trong những trường hợp cực đoan, một chương trình ma trận có thể không phân biệt được giữa một ma trận suy biến và một ma trận điều kiện kém.

Việc tính toán trên ma trận có thể tạo ra sai số đáng kể khi số điều kiện của ma trận lớn.

Phép Biến Đổi Tuyến Tính Khả Nghịch

Ghi chú về tính toán số học

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 9: Các đặc trưng của ma trận khả nghịch

Lesson Attachments

Phép Biến Đổi Tuyến Tính Khả Nghịch

Ghi chú về tính toán số học

Để lại một bình luận Hủy