Bài giảng 10: Ma trận Khối

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Một đặc điểm quan trọng trong công việc với ma trận là khả năng xem ma trận $A$ như một danh sách các vectơ cột thay vì chỉ là một mảng chữ nhật các số. Quan điểm này rất hữu ích đến mức chúng ta muốn xem xét các cách phân chia khác của $A$ , được chỉ định bằng các đường phân chia ngang và dọc, như trong Ví dụ 1 dưới đây.

Ma trận khối xuất hiện trong hầu hết các ứng dụng hiện đại của đại số tuyến tính vì ký hiệu này giúp làm nổi bật các cấu trúc quan trọng trong phân tích ma trận, giống như ví dụ mở đầu của chương về thiết kế máy bay. Phần này cung cấp cơ hội để xem lại đại số ma trận và sử dụng Định lý Ma trận Khả nghịch.

Ví dụ 1: Ma trận

cũng có thể được viết dưới dạng ma trận khối $2\times 3$ ,

$A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\\end{bmatrix}$

với các phần tử là các khối con (hoặc ma trận con).

$A_{11}=\begin{bmatrix}3&0&-1\\-5&2&4\\\end{bmatrix},\quad A_{12}=\begin{bmatrix}5&9\\0&-3\\\end{bmatrix},\quad A_{13}=\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix}$

$A_{21}=\begin{bmatrix}-8&-6&3\\\end{bmatrix},\quad A_{22}=\begin{bmatrix}1&7\\\end{bmatrix},\quad A_{23}=\begin{bmatrix}-4\end{bmatrix}$

Ví dụ 2: Khi một ma trận $A$ xuất hiện trong một mô hình toán học của hệ thống vật lý như mạng điện, hệ thống giao thông, hoặc một tập đoàn lớn, thì việc xem $A$ dưới dạng ma trận khối có thể là điều tự nhiên. Chẳng hạn, nếu một bảng mạch vi tính bao gồm chủ yếu ba vi mạch VLSI (very large-scale integrated – tích hợp quy mô rất lớn), thì ma trận cho bảng mạch có thể có dạng tổng quát $A$

Các ma trận con trên “đường chéo” của $A$ , cụ thể là $A_{11},\,A_{22}$ và $A_{33}$ , liên quan đến ba vi mạch VLSI, trong khi các ma trận con khác thể hiện sự kết nối giữa các vi mạch đó.

Phép Cộng và Phép Nhân với Một Số Vô Hướng

Nếu hai ma trận $A$ và $B$ có cùng kích thước và được chia khối theo cách giống nhau, thì tổng của chúng, $A+B$ , cũng sẽ được chia theo cách tương tự. Khi đó, mỗi khối của $A+B$ là tổng của các khối tương ứng của $A$ và $B$ . Tương tự, khi nhân một ma trận khối với một số vô hướng, ta thực hiện phép nhân theo từng khối riêng lẻ.

Phép Nhân Ma Trận Khối

Ma trận khối có thể được nhân với nhau theo quy tắc hàng – cột thông thường, miễn là số cột của từng khối trong $A$ phù hợp với số hàng của các khối tương ứng trong $B$ .

Ví dụ 3: Cho

Ma trận $A$ có 5 cột, được chia thành một tập gồm 3 cột và một tập gồm 2 cột. Ma trận $B$ cũng có 5 hàng, được chia tương ứng thành 3 hàng và 2 hàng. Khi đó, ta nói rằng các phần chia của $A$ và $B$ là tương thích cho phép nhân khối.

Có thể chứng minh rằng tích thông thường $AB$ có thể được viết dưới dạng:

Điều quan trọng là trong mỗi tích nhỏ hơn này, ma trận con từ $A$ phải được đặt bên trái, vì phép nhân ma trận không giao hoán. Ví dụ,

$A_{11}B_{1}=\begin{bmatrix}2&-3&1\\1&5&-2\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}6&4\\-2&1\\-3&7\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}15&12\\2&-5\\\end{bmatrix}$

$A_{12}B_{2}=\begin{bmatrix}0&-4\\3&-1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&3\\5&2\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-20&-8\\-8&7\\\end{bmatrix}$

Do đó, khối trên cùng trong ma trận $AB$ là:

$A_{11}B_{1}+A_{12}B_{2}=\begin{bmatrix}15&12\\2&-5\\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-20&-8\\-8&7\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5&4\\-6&2\\\end{bmatrix}$

Quy tắc nhân hàng – cột cho ma trận khối cung cấp cách tổng quát nhất để hiểu về tích của hai ma trận. Các cách tiếp cận sau đây về tích ma trận đã được mô tả bằng cách chia ma trận thành các khối đơn giản:

Định nghĩa $A\mathbf{x}$ sử dụng các cột của $A$ .
Định nghĩa cột của $AB$ .
Quy tắc nhân hàng – cột để tính $AB$ .
Các hàng của $AB$ được biểu diễn dưới dạng tích của các hàng của $A$ với ma trận $B$ .

Cách tiếp cận thứ năm của $AB$ , một lần nữa sử dụng phép chia khối, được trình bày trong Định lý 10.

Các phép tính trong ví dụ sau đây chuẩn bị cho Định lý 10. Ở đây, $\text{col}_k(A)$ là cột thứ $k$ của $A$ , và $\text{row}_k(B)$ là hàng thứ $k$ của $B$ .

Ví dụ 4: Cho $A=\begin{bmatrix}-3&1&2\\1&-4&5\\\end{bmatrix}$ và $B=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\\\end{bmatrix}$ . Chứng minh rằng

$AB=\text{col}_{1}(A)\text{row}_{1}(B)+\text{col}_{2}(A)\text{row}_{2}(B)+\text{col}_{3}(A)\text{row}_{3}(B)$

Giải: Mỗi hạng tử trong phương trình trên là một tích ngoài. Theo quy tắc nhân hàng – cột để tính tích ma trận,

$\begin{matrix}\begin{aligned}\text{col}_{1}(A)\text{row}_{1}(B)&=\begin{bmatrix}-3\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}-3a&-3b\\a&b\\\end{bmatrix}\\\\\text{col}_{2}(A)\text{row}_{2}(B)&=\begin{bmatrix}1\\-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c&d\\\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}c&d\\-4c&-4d\\\end{bmatrix}\\\\\text{col}_{3}(A)\text{row}_{3}(B)&=\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e&f\\\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}2a&2b\\5a&5b\\\end{bmatrix}\end{aligned}\end{matrix}$

Do đó,

$\sum_{k=1}^{3}\text{col}_{k}(A)\text{row}_{k}(B)=\begin{bmatrix}-3a+c+2e&-3b+d+2f\\a-4c+5e&b-4d+5f\\\end{bmatrix}$

Ma trận này rõ ràng chính là $AB$ . Lưu ý rằng phần tử (1,1) trong $AB$ là tổng của các phần tử (1,1) trong ba tích ngoài, phần tử (1,2) trong $AB$ là tổng của các phần tử (1,2) trong ba tích ngoài, và cứ thế.

Định lý 10: Mở rộng Theo Cột - Hàng của

Nếu $A$ là ma trận kích thước $m\times n$ và $B$ là ma trận kích thước $n\times p$ , thì:

(1) $\begin{equation*}AB=\begin{bmatrix}\text{col}_{1}A&\text{col}_{2}A&\cdots&\text{col}_{n}A\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\text{row}_{1}(B)\\\text{row}_{2}(B)\\\vdots\\\text{row}_{n}(B)\end{bmatrix}\end{equation*}$

$=\text{col}_{1}(A)\text{row}_{1}(B)+\cdots+\text{col}_{n}(A)\text{row}_{n}(B)$

Chứng minh: Với mỗi chỉ số hàng $i$ và cột $j$ , phần tử $(i,j)$ trong $\text{col}_{k}(A)\text{row}_{k}(B)$ là tích của $a_{ik}$ từ $\text{col}_k(A)$ và $b_{kj}$ từ $\text{row}_k(B)$ . Do đó, phần tử $(i,j)$ trong tổng của phương trình (1) là: