Bài giảng 11: Nghịch đảo của Ma trận Khối

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Ví dụ sau đây minh họa các phép tính liên quan đến nghịch đảo và ma trận khối.

Ví dụ: Một ma trận có dạng

$A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\\\end{bmatrix}$

được gọi là ma trận tam giác trên khối. Giả sử rằng $A_{11}$ có kích thước $p\times p$ , $A_{22}$ có kích thước $q\times q$ , và $A$ là khả nghịch. Tìm công thức cho $A^{-1}$ .

Giải: $A^{-1}$ là $B$ và khối $B$ sao cho:

(2) $\begin{equation*}\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_{p}&0\\0&I_{q}\\\end{bmatrix}\end{equation*}$

Phương trình ma trận này cung cấp bốn phương trình giúp tìm các khối chưa biết $B_{11},...,B_{22}.$ Tính tích ma trận ở vế trái của phương trình (2), rồi so sánh từng phần tử với ma trận đơn vị ở vế phải. Cụ thể, ta đặt:

(3) $\begin{equation*}A_{11}B_{11}+B_{12}B_{21}=I_{p}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}A_{11}B_{12}+B_{12}B_{22}=0\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*}A_{22}B_{21}=0\end{equation*}$

(6) $\begin{equation*}A_{22}B_{22}=I_{q}\end{equation*}$

Từ phương trình (6), ta chưa thể khẳng định rằng $A_{22}$ là khả nghịch. Tuy nhiên, vì $A_{22}$ là ma trận vuông, Định lý Ma trận Khả nghịch và phương trình (6) cùng nhau chứng minh rằng $A_{22}$ là khả nghịch và $B_{22}=A_{22}^{-1}$ . Tiếp theo, nhân bên trái phương trình (5) với $A^{-1}$ và ta được:

$B_{21}=-A_{22}^{-1}0=0$

dẫn đến phương trình (3) được đơn giản hóa thành:

$A_{11}B_{11}+0=I_{p}$

Vì $A_{11}$ là ma trận vuông, điều này chứng minh rằng $A_{11}$ là khả nghịch và $B_{11}=A_{11}^{-1}$ . Cuối cùng, sử dụng kết quả này với phương trình (4) để tìm:

$A_{11}B_{12}=-A_{11}B_{22}=-A_{12}A_{22}^{-1}$ và $B_{12}=-A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}$

Do đó,

$A^{-1}=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\\\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A_{11}^{-1}&A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\0&A_{22}^{-1}\\\end{bmatrix}$

Một ma trận đường chéo khối là một ma trận khối mà các khối ngoài đường chéo chính đều bằng 0. Ma trận này chỉ khả nghịch khi và chỉ khi mỗi khối trên đường chéo chính là khả nghịch.

Ghi chú về Tính Toán Số

Khi ma trận quá lớn để vừa với bộ nhớ tốc độ cao của máy tính, việc khối cho phép máy tính xử lý từng phần nhỏ (hai hoặc ba ma trận con) một cách hiệu quả. Chẳng hạn, một nhóm nghiên cứu lập trình tuyến tính đã chia một ma trận thành 837 hàng và 51 cột, giúp giải quyết bài toán chỉ trong khoảng 4 phút trên siêu máy tính Cray.
Một số siêu máy tính tốc độ cao, đặc biệt là các máy tính có kiến trúc pipeline vector, thực hiện các phép tính ma trận hiệu quả hơn khi thuật toán sử dụng ma trận khối.
Phần mềm chuyên nghiệp dành cho đại số tuyến tính hiệu năng cao, chẳng hạn như LAPACK, sử dụng rộng rãi các phép tính trên ma trận khối.

Ghi chú về Tính Toán Số

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 11: Nghịch đảo của Ma trận Khối

Lesson Attachments

Ghi chú về Tính Toán Số

Để lại một bình luận Hủy