Bài giảng 1: Tích Trong

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Các khái niệm hình học về độ dài, khoảng cách và tính vuông góc, vốn quen thuộc trong $\mathbb{R}^{2}$ và $\mathbb{R}^{3}$ , sẽ được định nghĩa trong $\mathbb{R}^{n}$ . Những khái niệm này cung cấp các công cụ hình học mạnh mẽ để giải quyết nhiều bài toán ứng dụng, bao gồm cả bài toán bình phương tối thiểu đã đề cập ở trên.

Cả ba khái niệm: Tích trong, độ dài và tính trực giao đều được định nghĩa thông qua tích trong của hai vectơ.

Tích Trong

Nếu $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là các vector trong $\mathbb{R}^{n}$ , thì ta có thể xem chúng như các ma trận $n\times 1$ . Chuyển vị của $\mathbf{u}$ , ký hiệu $\mathbf{u}^T$ , là một ma trận $1\times n$ , và tích ma trận $\mathbf{u}^T\mathbf{v}$ là một ma trận $1\times 1$ , mà ta thường viết dưới dạng một số thực (một vô hướng) mà không cần dấu ngoặc.

Số $\mathbf{u}^T\mathbf{v}$ được gọi là tích trong của $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ , thường được ký hiệu là $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ . Tích trong này, đã được đề cập trong các bài trước, cũng được gọi là tích vô hướng. Nếu

$\mathbf{u}=\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n\end{bmatrix},\qquad\mathbf{v}=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}$

thì tích trong của $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là:

$\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\cdots&u_{n}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots\\v_{n}\end{bmatrix}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\cdots+u_{n}v_{n}$

Ví dụ 1: Tính $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ và $\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}$ cho $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}2\\-5\\-1\end{bmatrix}$ và $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}3\\2\\-3\end{bmatrix}$ .

Giải:

$\begin{matrix}\mathbf{u\cdot v}=&\mathbf{u}^{T}\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2&-5&-1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\2\\-3\end{bmatrix}=(2)(3)+(-5)(2)+(-1)(-3)=-1\\\\\mathbf{v\cdot u}=&\mathbf{v}^{T}\mathbf{u}=\begin{bmatrix}3&2&-3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\-5\\-1\end{bmatrix}=(3)(2)+(2)(-5)+(-3)(-1)=-1\\\end{matrix}$

Rõ ràng từ các phép tính trong ví dụ 1 tại sao $\mathbf{u\cdot v=v\cdot u}$ . Tính chất giao hoán của tích trong này luôn đúng trong mọi trường hợp. Các tính chất sau của tích trong có thể dễ dàng suy ra từ các tính chất của phép chuyển vị.

Định lý 1 Cho  và  là các vector trong , và  là một số vô hướng. Khi đó:

a.	
b.	
c.	
d.	, và  khi và chỉ khi

Các tính chất (b) và (c) có thể được kết hợp nhiều lần để đưa ra quy tắc hữu ích sau:

$(c_1\mathbf{u}_1+\dots+c_p\mathbf{u}_p)\cdot\mathbf{w}=c_1(\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{w})+\dots+c_p(\mathbf{u}_p\cdot\mathbf{w})$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 1: Tích Trong

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy