Bài giảng 17: Quá trình Gram–Schmidt

Sự tồn tại của các cơ sở trực giao cho các không gian con có chiều hữu hạn trong không gian tích vô hướng có thể được chứng minh bằng quá trình Gram–Schmidt, giống như trong $\mathbb{R}^n$ . Một số cơ sở trực giao xuất hiện thường xuyên trong các ứng dụng có thể được xây dựng thông qua quá trình này.

Phép chiếu trực giao của một vectơ lên một không gian con $W$ với một cơ sở trực giao có thể được xây dựng như thường lệ. Phép chiếu không phụ thuộc vào sự lựa chọn cơ sở trực giao và nó có các tính chất được mô tả trong Định lý Phân rã trực giao và Định lý Xấp xỉ tốt nhất.

Ví dụ 5: Giả sử $V$ là $\mathbb{P}_4$ với tích vô hướng như trong ví dụ 2, liên quan đến việc đánh giá đa thức tại các giá trị $-2,-1,0,1$ , và $2$ , và xem $\mathbb{P}_2$ là một không gian con của $V$ . Hãy tạo ra một cơ sở trực giao cho $\mathbb{P}_2$ bằng cách áp dụng quá trình Gram-Schmidt cho các đa thức $1,t,t^2$ .

Giải: Tích vô hướng chỉ phụ thuộc vào các giá trị của một đa thức tại $-2,...,2$ , vì vậy chúng ta liệt kê các giá trị của mỗi đa thức dưới dạng một vectơ trong $\mathbb{R}^5$ , dưới tên của đa thức:

Tích vô hướng của hai đa thức trong $V$ bằng tích vô hướng (chuẩn) của các vectơ tương ứng của chúng trong $\mathbb{R}^5$ . Quan sát rằng $t$ là trực giao với hàm hằng 11. Vì vậy, ta đặt $p_0(t)=1$ và $p_1(t)=t$ . Đối với $p_2$ , sử dụng các vectơ trong $\mathbb{R}^5$ để tính toán phép chiếu của $t^2$ lên $\text{Span}\,\{p_0,p_1\}$ :

$\begin{matrix}\langle t^2,p_0\rangle=&\langle t^2,1\rangle=4+1+0+1+4\\\langle p_0,p_0\rangle=&5\\\langle t^2,p_1\rangle=&\langle t^2,t\rangle=-8+(-1)+0+1+8=0\\\end{matrix}$

Phép chiếu trực giao của $t^2$ lên $\text{Span}\,\{1,t\}$ là $\frac{10}{5}p_0+0 p_1$ . Vì vậy,

$p_2(t)=t^2-2p_0(t)=t^2-2$

Một cơ sở trực giao cho không gian con $\mathbb{P}_2$ của $V$ là:

Sự Xấp Xỉ Tốt Nhất trong Các Không Gian Tích Phân

Một vấn đề phổ biến trong toán học ứng dụng liên quan đến một không gian vectơ $V$ , trong đó các phần tử của nó là các hàm số. Vấn đề là xấp xỉ một hàm $f$ trong $V$ bởi một hàm gg từ một không gian con $W$ đã cho của $V$ . Mức độ “gần gũi” của phép xấp xỉ $f$ phụ thuộc vào cách mà khoảng cách $\|f-g\|$ được định nghĩa. Chúng ta sẽ chỉ xem xét trường hợp trong đó khoảng cách giữa $f$ và $g$ được xác định bởi một tích phân trong sản phẩm. Trong trường hợp này, phép xấp xỉ tốt nhất của $f$ bởi các hàm trong $W$ là phép chiếu vuông góc của $f$ lên không gian con $W$ .

Ví dụ 6: Giả sử $V$ là $\mathbb{P}_4$ với tích phân được mô tả trong ví dụ 5, và $p_0$ , $p_1$ , và $p_2$ là cơ sở trực giao được tìm thấy trong ví dụ 5 cho không gian con $\mathbb{P}_2$ . Tìm phép xấp xỉ tốt nhất của $p(t)=5-\frac{1}{2}t^4$ bằng các đa thức trong $\mathbb{P}_2$ .

Giải: Các giá trị của $p_0$ , $p_1$ , và $p_2$ tại các số $-2,-1,0,1$ , và $2$ đã được liệt kê dưới dạng các vectơ trong $\mathbb{R}^5$ trong (3) ở trên. Các giá trị tương ứng của $p$ là $-3,9/2,5,9/2$ và $-3$ . Tính:

$\begin{matrix}\begin{matrix}\langle p,p_0\rangle&=8,\\\langle p_0,p_0\rangle&=5,\\\end{matrix}&\begin{matrix}\langle p,p_1\rangle&=0,\\&\\\end{matrix}&\begin{matrix}\langle p,p_2\rangle&=-31\\\langle p_2,p_2\rangle&=14\\\end{matrix}\\\end{matrix}$

Sau đó, phép xấp xỉ tốt nhất trong $V$ của $p$ bởi các đa thức trong $\mathbb{P}_2$ là:

$\hat{p}=\text{proj}_{\mathbb{P}_2}p=\frac{\langle p,p_0\rangle}{\langle p_0,p_0\rangle}p_0+\frac{\langle p,p_1\rangle}{\langle p_1,p_1\rangle}p_1+\frac{\langle p,p_2\rangle}{\langle p_2,p_2\rangle}p_2$

$=\frac{8}{5}p_0+\frac{-31}{14}p_2=\frac{8}{5}-\frac{-31}{14}(t^2-2)$

Đa thức này là đa thức gần nhất với $p$ trong tất cả các đa thức trong $\mathbb{P}_2$ , khi khoảng cách giữa các đa thức chỉ được đo tại các điểm $-2,-1,0,1$ , và $2$ . Xem hình 1.

Các đa thức $p_0$ , $p_1$ , và $p_2$ trong ví dụ 5 và 6 thuộc về một lớp các đa thức được gọi trong thống kê là đa thức trực giao. Tính trực giao này liên quan đến loại tích phân sản phẩm được mô tả trong ví dụ 2.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 17: Quá trình Gram–Schmidt

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy